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Quadratische Funktionen

2014-08-27T09:43:54Z

62.47.209.23: /* Matura-Beispiele */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen|Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
<div align="right">mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </div> }}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.

Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

<br>
<br>
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== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

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<br>
<br>

== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
<br>
<br>
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

<br>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel nach 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.
|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$
1. Schritt: ausquadrieren
$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$
2. Schritt: vereinfachen
$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$
$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$
Die Normalform von $f$ lautet $\underline\{underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

<br>
<br>
<br>

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
<br>
<br>
<br>

'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
<br>
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

<br>

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
<br>

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Online-Übungsmaterialien ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]

== Matura-Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=133&file=Laptops.pdf Laptops] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
*: siehe auch: [[Quadratische Gleichungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel)
*: für b) <span style="background-color:yellow"> brauchst du den [[Differenzen- und Differentialquotient]] (erst in der 4. Klasse!) </span>

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
*: Aufgabe b) lernst du <span style="background-color:yellow"> erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]] </span>

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
*: <span style="background-color:yellow"> Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen </span> da du hier [[Bestimmen der Tangentengleichung | die Tangentengleichung bestimmen musst.]]

[[Kategorie: Funktionen]]

Quadratische Funktionen

2014-08-27T09:43:15Z

62.47.209.23: /* Matura-Beispiele */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen|Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
<div align="right">mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </div> }}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
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[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.

Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

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[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

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[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

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== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
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== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
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$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

<br>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel nach 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.
|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$
1. Schritt: ausquadrieren
$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$
2. Schritt: vereinfachen
$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$
$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$
Die Normalform von $f$ lautet $\underline\{underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

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== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
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'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
<br>
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

<br>

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
<br>

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Online-Übungsmaterialien ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]

== Matura-Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=133&file=Laptops.pdf Laptops] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
*: siehe auch: [[Quadratische Gleichungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel)
*: für b) brauchst du den [[Differenzen- und Differentialquotient]] (erst in der 4. Klasse!)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
*: Aufgabe b) lernst du <span style="background-color:yellow"> erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]] </span>

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
*: <span style="background-color:yellow"> Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen </span> da du hier [[Bestimmen der Tangentengleichung | die Tangentengleichung bestimmen musst.]]

[[Kategorie: Funktionen]]

Quadratische Funktionen

2014-08-27T09:42:32Z

62.47.209.23: /* Matura-Beispiele */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen|Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
<div align="right">mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </div> }}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.

Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

<br>
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>

== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
<br>
<br>
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

<br>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel nach 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.
|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$
1. Schritt: ausquadrieren
$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$
2. Schritt: vereinfachen
$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$
$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$
Die Normalform von $f$ lautet $\underline\{underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

<br>
<br>
<br>

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
<br>
<br>
<br>

'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
<br>
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

<br>

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
<br>

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Online-Übungsmaterialien ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]

== Matura-Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=133&file=Laptops.pdf Laptops] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
*: siehe auch: [[Quadratische Gleichungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel)
*: für b) brauchst du den [[Differenzen- und Differentialquotient]] (erst in der 4. Klasse!)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
*: Aufgabe b) lernst du <span style="background-color=yellow"> erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]] </span>

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
*: <span style="background-color:yellow"> Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen </span> da du hier [[Bestimmen der Tangentengleichung | die Tangentengleichung bestimmen musst.]]

[[Kategorie: Funktionen]]

Quadratische Funktionen

2014-08-27T09:41:37Z

62.47.209.23: /* Matura-Beispiele */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen|Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
<div align="right">mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </div> }}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.

Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

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[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

<br>
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<br>

== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

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<br>

== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
<br>
<br>
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

<br>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel nach 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.
|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$
1. Schritt: ausquadrieren
$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$
2. Schritt: vereinfachen
$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$
$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$
Die Normalform von $f$ lautet $\underline\{underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

<br>
<br>
<br>

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
<br>
<br>
<br>

'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
<br>
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

<br>

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
<br>

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Online-Übungsmaterialien ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]

== Matura-Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
*: Aufgabe b) lernst du erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=133&file=Laptops.pdf Laptops] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
*: siehe auch: [[Quadratische Gleichungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel)
*: für b) brauchst du den [[Differenzen- und Differentialquotient]] (erst in der 4. Klasse!)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
*: <span style="background-color:yellow"> Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen </span> da du hier [[Bestimmen der Tangentengleichung | die Tangentengleichung bestimmen musst.]]

[[Kategorie: Funktionen]]

Diskussion:Angewandte Mathematik

2014-08-27T09:34:12Z

62.47.209.23: Die Seite wurde neu angelegt: „== Neuerungen == ===27.08.14 === * Alle Typ-A-Aufgaben zu "Funktionale Abhängigkeiten" wurden verlinkt. * Neue Seiten: :# Quadratische Funktionen (fertig) :…“

== Neuerungen ==

===27.08.14 ===
* Alle Typ-A-Aufgaben zu "Funktionale Abhängigkeiten" wurden verlinkt.
* Neue Seiten:
:# Quadratische Funktionen (fertig)
:# Integration (in Arbeit)
:# Gleichungssysteme (in Arbeit)
RP

Gleichungssysteme (2.7.)

2014-08-27T09:29:41Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

{{Vorlage:Definition|1= Ein '''lineares Gleichungssystem''' besteht aus mehreren [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

'''Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:'''

$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
}}

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= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =

'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen.

== Lösungsmenge $\mathbb{L}$==

Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
<br>
<br>
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<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst: $ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$|2=
'''Begründung:''' Setze den Punkt $(23\vert 12)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=23$ und $y=12$ ist:
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems }}

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

<br>
<br>

== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Additionsverfahrens'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.}}

{| align="center"
|{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}
|}

<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$

$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

<br>
<br>
{| border=1
| Wichtig
| Das Additionsverfahren eignet sich nur für '''lineare Gleichunggsysteme'''. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so '''funktioniert''' das Additionsverfahren '''nicht'''.

Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:
|}

<br>
<br>
<br>

== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==

{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Einsetzungsverfahrens'''

1. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe [[Gleichungen umformen]])

2. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable.

3. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:

$ \begin{align}
I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\
I:\ \ &x &=&35-y
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:

$ \begin{align}
II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\
II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)

$ \begin{align}
II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\
II:\ 140-4y+2y&=94 & \\
140-2y&=94&\ \vert -140\\
-2y&=-46&\ \vert :(-2)\\
y&=23
\end{align}$

<br>
<br>

Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten:
$$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

== Graphisches Verfahren ==
[[Datei:Allgemein graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|230px|right|Der Schnittpunkt S ist die Lösung des Gleichungssystems]]

{{Vorlage:Merke|1=
'''Methode:'''

1. Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.

2. Einzeichnen der Geraden aus I. und II. in dasselbe Koordinatensystem (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Lineare Funktionen y=kx+d]]

3. Ermitteln des Schnittpunktes $\rightarrow$ dieser gibt die Lösungsmenge des Gleichungssystems an. }}

<br>
<br>
<br>
<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:''' Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.

$\begin{align}
I: x+y=35 &\vert -x &\rightarrow & & \rightarrow &\underline{I:y=-x+35} \\
\\

II:4x+2y=94 &\vert -4x &\rightarrow &2y=-4x+94 \ \ \vert :2 & \rightarrow &\underline{II:y=-2x+47}
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Einzeichnen der Geraden $y=kx+d$ (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Geraden zeichnen]])

[[Datei:Bsp graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|center|400px|Der Schnittpunkt der Geraden $I:y=-x+35$ (rot) und $II:y=-2x+47$ (blau) ist $S(12\vert 23)$]]

'''3. Schritt:''' Ermitteln des Schnittpunktes.

Wie man aus der obigen Graphik erkennt, hat der Schnittpunkt die Koordinaten $S(12\vert 23)$. Somit lautet die [[Lösungsmenge|Lösungsmenge $\mathbb{L}$]]$={(12\vert 23)}$.}}

<span style="background-color:yellow"> Achtung!</span> Oft ist es schwer, den Schnittpunkt durch eine händische Zeichnung exakt zu ermitteln. Hier ist es dann oft sinnvoll Technologie einzusetzen. Entweder
* [[GeoGebra#Schneide-Befehl | GeoGebra]] oder
* den [[Intersect-Befehl]] des TI

== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==

= Lineare Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =

Musterbeispiel:
Das folgende lineare Gleichungssystem zeigt ein Gleichungssystem mit 3 Variablen (x, y und z) und 3 Gleichungen:

$\begin{align}
I: &2x&+&y&-&3z&=&-4\\
II: &x&-&3y&-&z&=&-8\\
III: &-3x&+&y&+&z&=&\ \ 2
\end{align}$

Es gilt: Um ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus n [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen bestehen.

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

== Matura-Aufgaben==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Lineare Funktionen]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]] sowie [[Funktionen]] und für <span style="background-color:yellow"> d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]] </span>

Lineare Funktionen

2014-08-27T09:28:52Z

62.47.209.23: /* Offizielle Bifie-Aufgaben */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]

<ggb_applet width="923" height="445" version="4.2" 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" 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== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

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== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

----
----
<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Quadratische Funktionen

2014-08-27T09:25:26Z

62.47.209.23: /* Matura-Beispiele */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen|Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
<div align="right">mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </div> }}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.

Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

<br>
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>

== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
<br>
<br>
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

<br>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel nach 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.
|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$
1. Schritt: ausquadrieren
$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$
2. Schritt: vereinfachen
$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$
$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$
Die Normalform von $f$ lautet $\underline\{underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

<br>
<br>
<br>

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
<br>
<br>
<br>

'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
<br>
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

<br>

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
<br>

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Online-Übungsmaterialien ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]

== Matura-Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
*: Aufgabe b) lernst du erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
*: <span style="background-color:yellow"> Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen </span> da du hier [[Bestimmen der Tangentengleichung | die Tangentengleichung bestimmen musst.]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=133&file=Laptops.pdf Laptops] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
*: siehe auch: [[Quadratische Gleichungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel)
*: für b) brauchst du den [[Differenzen- und Differentialquotient]] (erst in der 4. Klasse!)

[[Kategorie: Funktionen]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-08-27T09:21:54Z

62.47.209.23: /* Durchmischte Beispiele */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Wert k''' wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$

* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N(1)=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(2)+k=(N_0+2k)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Übungsaufgabe ===
* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe Regentonne]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung Regentonne]
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=218&file=Tauchen.pdf Aufgabe Tauchen]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst pro Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ (="tau") Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' Berechnung der Verdoppelungszeit bei bekannter Anfangsmenge </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$; $a=(1+\frac{6.5}{100})=1.065 \ \ \rightarrow$ $\underline{\underline{N(t)=100\cdot 1.065^t}}$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' Berechnung der Verdoppelungszeit bei unbekannter Anfangsmenge </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel Prozent sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t \ \ \ |\log ( \ )$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist! Dies kam auch schon im 1. Musterbeispiel vor.
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' Bestimmen des Wachstumsfaktors bei bekannter Verdoppelungszeit </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^{17}$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^{17} \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17} \ \ \ |\sqrt[17]{\ \ \ }$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px|Mehrfache Verdoppelung eines exponentiellen Wachstums]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

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<br>
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==Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer '''um den gleichen Faktor verkleinert'''.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
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<br>
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<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer bestimmten Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann $\lambda$ bestimmt werden:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $$N(t)=1 \textrm{% von }N_0$$ ist. Formulieren wir dies noch "mathemtischer", so erhalten wir: $$N(t)=0.01\cdot N_0$$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formel man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke: $\ \ \ \ \ \ $ ''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|600px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]]
|}

<br>
<br>
<br>
=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

<br>
<br>
<br>
== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=31&file=Schiunfaelle.pdf Schiunfälle] (bifie-Aufgabe: leicht)
:: siehe auch [[Statistische Diagramme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=136&file=Neuronen_in_der_Grosshirnrinde.pdf Neuronen in der Großhirnrinde] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=220&file=PKW-Bestand.pdf PKW-Bestand] (leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=178&file=Alkoholspiegel.pdf Alkoholspiegel] (leicht-leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=203&file=Wirksame_Substanz_eines_Medikamentes.pdf] (bifie-Aufgabe: mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=218&file=Tauchen.pdf Aufgabe Tauchen] (bifie-Aufgabe)
: Siehe auch: [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Gleichungen aufstellen]] und [[Äquivalenzumformungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)
*: siehe auch [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch
: * [[Beschreibende Statistik]]
: * [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Trigonometrie]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

Formeln

2014-08-27T09:19:06Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

== Was ist eine Formel ==

Eine mathematische Formel ist eine [[Gleichung]], die einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Größen herstellt.

Beispiel: Die Flächenformel für das [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | rechtwinklige Dreieck]] lautet
$$ A=\frac{a\cdot b}{2}$$
und stellt einen Zusammenhang zwischen der Dreiecksfläche $A$ und den beiden [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Katheten]] $a$ und $b$ dar.

Beispiele für Formeln:
* [[Satz des Pythagoras]]: $a^2+b^2=c^2$
* [[Große Lösungsformel]]: $\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$
* [[1. Binomische Formel]]: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

== Formeln aufstellen ==

== Umformen von Formeln ==

Oft ist es wichtig, eine Formel umzuformen, um eine Variable freizustellen. Um die Formel umzuformeln, verwendet man [[Äquivalenzumformungen]].

Wichtig ist dabei immer folgendes:
{| border ="1"

| '''Merke'''

|<p style="background-color:#E0E0E0">

{|
|
# Wenn die freizustellende Variable in einem Nenner steht, immer zuerst den Bruch auflösen (z.B. mit dem Nenner multiplizieren)
# Anschließend immer zuerst die Terme auf die andere Seite bringen, die der freizustellendne Variable am weitesten entfernt sind.
|}
</p>
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist die Flächenformel des [[Trapez]]:
$$ A=\frac{a+c}{2}\cdot h $$

* a) Stellen Sie $h$ frei.
* b) Stellen Sie $a$ frei.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ A=\frac{a+c}{2}\cdot h \ \ \ |\cdot 2$$
$$ 2\cdot A=(a+c)\cdot h\ \ \ |:(a+c) \ \ \textrm{Achtung! Klammer nicht vergessen}$$
$$ \underline{\underline{\frac{2\cdot A}{a+c}=h}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$A=\frac{a+c}{2}\cdot h \ \ \ |:h$$
$$\frac{A}{h}=\frac{a+c}{2}\ \ \ |\cdot 2$$
$$\frac{2\cdot A}{h}=a+c \ \ \ |-c$$
$$\underline{\underline{\frac{2\cdot A}{h}-c=a}}$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Hinweis 1: Bei dieser Aufgabe hätte man auch zuerst mit 2 multiplizieren können und erst nacher durch h dividieren (oder beides gleichzeitig) - das Ergebnis wäre dasselbe.

Hinweis 2: Wer will, kann in der letzten Zeile c auch in den Zähler "heben" und erhält:
$$\frac{2\cdot A-c\cdot h}{h}=a$$

== Abhängigkeiten von Formeln interpretieren ==

== Matura-Aufgaben==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne] (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Lineare Funktionen]]

* * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=202&file=Autorennspiel.pdf Autorennspiel] (Bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für <span style="background-color:yellow"> c) [[Wahrscheinlichkeitsrechnung|Wahrscheinlichkeitsrechnung (erst in der 5. Klasse)]] </span>

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=141&file=Milchverpackung.pdf Milchverpackung] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für b) [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] und für <span style="background-color:yellow"> c) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]] </span>

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]] sowie [[Funktionen]] und für <span style="background-color:yellow"> d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]] </span>

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-08-27T09:15:42Z

62.47.209.23: /* Beispiele */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$
----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

<br>
<br>
<br>

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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<br>
<br>
<br>

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Kannst du diese Aufgaben alle, so [https://www.geogebratube.org/student/m82256 übe dich an diesem Quiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>
<br>
<br>
<br>
=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimmen Sie wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=6.43$$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ |textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.75^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.75^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.75=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.75}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Und [https://www.geogebratube.org/student/m82256 hier gibt es ein GeoGebraquiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

== Beispiele ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=179&file=Vergessenskurve_nach_Ebbinghaus.pdf Vergessenskurve von Ebbinghaus] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-08-27T09:13:01Z

62.47.209.23: /* Beispiele */

Funktionen

2014-08-27T09:05:09Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

Wichtige Funktiontypen:
* [[Lineare Funktionen]]
* [[Quadratische Funktionen]]
* [[Kubische Funktionen]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]]
* [[Direkte und indirekte Proportion]]

== Übungen ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung, in der du lernst [http://www.geogebratube.org/student/m82256 Funktionsgleichung anhand gegebener Punkte berechnen]
: Hierfür musst du [[Gleichungssysteme (2.7.) | Gleichungssysteme]] lösen.

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Aufgabe von echteinfach.tv, in der du [http://www.echteinfach.tv/mathe-spiele/funktionen-quiz Funktionsgleichungen den jeweiligen Graphen zuordnest]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke] (bifie-Aufgabe)

== Matura-Aufgaben==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne] (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Rechnen mit Termen(2.1.)|Rechnen mit Termen]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=95&file=Elektrischer_Widerstand_eines_Drahtes.pdf Elektrischer Widerstand] (Bifie-Aufgabe: leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Rechnen mit Termen(2.1.)|Rechnen mit Termen]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]] sowie [[Formeln]] und für <span style="background-color:yellow"> d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]] </span>

Gleichungssysteme (2.7.)

2014-08-27T09:04:43Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

{{Vorlage:Definition|1= Ein '''lineares Gleichungssystem''' besteht aus mehreren [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

'''Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:'''

$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
}}

<br>
<br>
<br>
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =

'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen.

== Lösungsmenge $\mathbb{L}$==

Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
<br>
<br>
<br>
<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst: $ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$|2=
'''Begründung:''' Setze den Punkt $(23\vert 12)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=23$ und $y=12$ ist:
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems }}

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

<br>
<br>

== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Additionsverfahrens'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.}}

{| align="center"
|{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}
|}

<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$

$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

<br>
<br>
{| border=1
| Wichtig
| Das Additionsverfahren eignet sich nur für '''lineare Gleichunggsysteme'''. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so '''funktioniert''' das Additionsverfahren '''nicht'''.

Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:
|}

<br>
<br>
<br>

== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==

{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Einsetzungsverfahrens'''

1. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe [[Gleichungen umformen]])

2. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable.

3. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:

$ \begin{align}
I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\
I:\ \ &x &=&35-y
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:

$ \begin{align}
II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\
II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)

$ \begin{align}
II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\
II:\ 140-4y+2y&=94 & \\
140-2y&=94&\ \vert -140\\
-2y&=-46&\ \vert :(-2)\\
y&=23
\end{align}$

<br>
<br>

Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten:
$$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

== Graphisches Verfahren ==
[[Datei:Allgemein graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|230px|right|Der Schnittpunkt S ist die Lösung des Gleichungssystems]]

{{Vorlage:Merke|1=
'''Methode:'''

1. Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.

2. Einzeichnen der Geraden aus I. und II. in dasselbe Koordinatensystem (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Lineare Funktionen y=kx+d]]

3. Ermitteln des Schnittpunktes $\rightarrow$ dieser gibt die Lösungsmenge des Gleichungssystems an. }}

<br>
<br>
<br>
<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:''' Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.

$\begin{align}
I: x+y=35 &\vert -x &\rightarrow & & \rightarrow &\underline{I:y=-x+35} \\
\\

II:4x+2y=94 &\vert -4x &\rightarrow &2y=-4x+94 \ \ \vert :2 & \rightarrow &\underline{II:y=-2x+47}
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Einzeichnen der Geraden $y=kx+d$ (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Geraden zeichnen]])

[[Datei:Bsp graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|center|400px|Der Schnittpunkt der Geraden $I:y=-x+35$ (rot) und $II:y=-2x+47$ (blau) ist $S(12\vert 23)$]]

'''3. Schritt:''' Ermitteln des Schnittpunktes.

Wie man aus der obigen Graphik erkennt, hat der Schnittpunkt die Koordinaten $S(12\vert 23)$. Somit lautet die [[Lösungsmenge|Lösungsmenge $\mathbb{L}$]]$={(12\vert 23)}$.}}

<span style="background-color:yellow"> Achtung!</span> Oft ist es schwer, den Schnittpunkt durch eine händische Zeichnung exakt zu ermitteln. Hier ist es dann oft sinnvoll Technologie einzusetzen. Entweder
* [[GeoGebra#Schneide-Befehl | GeoGebra]] oder
* den [[Intersect-Befehl]] des TI

== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==

= Lineare Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =

Musterbeispiel:
Das folgende lineare Gleichungssystem zeigt ein Gleichungssystem mit 3 Variablen (x, y und z) und 3 Gleichungen:

$\begin{align}
I: &2x&+&y&-&3z&=&-4\\
II: &x&-&3y&-&z&=&-8\\
III: &-3x&+&y&+&z&=&\ \ 2
\end{align}$

Es gilt: Um ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus n [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen bestehen.

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

== Matura-Aufgaben==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]] sowie [[Funktionen]] und für <span style="background-color:yellow"> d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]] </span>

Formeln

2014-08-27T09:03:51Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

== Was ist eine Formel ==

Eine mathematische Formel ist eine [[Gleichung]], die einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Größen herstellt.

Beispiel: Die Flächenformel für das [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | rechtwinklige Dreieck]] lautet
$$ A=\frac{a\cdot b}{2}$$
und stellt einen Zusammenhang zwischen der Dreiecksfläche $A$ und den beiden [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Katheten]] $a$ und $b$ dar.

Beispiele für Formeln:
* [[Satz des Pythagoras]]: $a^2+b^2=c^2$
* [[Große Lösungsformel]]: $\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$
* [[1. Binomische Formel]]: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

== Formeln aufstellen ==

== Umformen von Formeln ==

Oft ist es wichtig, eine Formel umzuformen, um eine Variable freizustellen. Um die Formel umzuformeln, verwendet man [[Äquivalenzumformungen]].

Wichtig ist dabei immer folgendes:
{| border ="1"

| '''Merke'''

|<p style="background-color:#E0E0E0">

{|
|
# Wenn die freizustellende Variable in einem Nenner steht, immer zuerst den Bruch auflösen (z.B. mit dem Nenner multiplizieren)
# Anschließend immer zuerst die Terme auf die andere Seite bringen, die der freizustellendne Variable am weitesten entfernt sind.
|}
</p>
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist die Flächenformel des [[Trapez]]:
$$ A=\frac{a+c}{2}\cdot h $$

* a) Stellen Sie $h$ frei.
* b) Stellen Sie $a$ frei.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ A=\frac{a+c}{2}\cdot h \ \ \ |\cdot 2$$
$$ 2\cdot A=(a+c)\cdot h\ \ \ |:(a+c) \ \ \textrm{Achtung! Klammer nicht vergessen}$$
$$ \underline{\underline{\frac{2\cdot A}{a+c}=h}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$A=\frac{a+c}{2}\cdot h \ \ \ |:h$$
$$\frac{A}{h}=\frac{a+c}{2}\ \ \ |\cdot 2$$
$$\frac{2\cdot A}{h}=a+c \ \ \ |-c$$
$$\underline{\underline{\frac{2\cdot A}{h}-c=a}}$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Hinweis 1: Bei dieser Aufgabe hätte man auch zuerst mit 2 multiplizieren können und erst nacher durch h dividieren (oder beides gleichzeitig) - das Ergebnis wäre dasselbe.

Hinweis 2: Wer will, kann in der letzten Zeile c auch in den Zähler "heben" und erhält:
$$\frac{2\cdot A-c\cdot h}{h}=a$$

== Abhängigkeiten von Formeln interpretieren ==

== Matura-Aufgaben==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne] (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=141&file=Milchverpackung.pdf Milchverpackung] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für b) [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] und für <span style="background-color:yellow"> c) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]] </span>

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]] sowie [[Funktionen]] und für <span style="background-color:yellow"> d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]] </span>

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

Trigonometrie (2.12 und 3.10)

2014-08-27T08:56:28Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)

Die folgende Seite ist in 5 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
# [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck]]: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen.
# [[#Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis | Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis]]: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
# [[#Trigonometrische Funktionen | Trigonometrische Funktionen]]: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und Tangensfunktion kennen.
# [[#Das allgemeine Dreieck | Das allgemeine Dreieck]], indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, zu rechnen.
# [[#Vermessungsaufgaben | Vermessungsaufgaben]], in denen du das Gelernte in Anwendungsbeispielen verwenden kannst.

Die letzten beiden Kapitel bestehen aus einer [[#Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck | Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln]] und [[#Matura-Aufgaben | Matura-Aufgaben]]

== Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck ==

=== Begriffe ===
[[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|350px|rechtwinkliges Dreieck]]

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (= Dreieck mit einem 90°-Winkel).

* Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt '''Hypotenuse'''. Sie ist '''IMMER gegenüber vom dem rechten Winkel'''.
* Die beiden kürzere Seiten heißen '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
: * die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
: * die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
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=== Sinus, Cosinus und Tangens ===

{| border ="1"

| <span style="color:#00AD00"> '''Definition''' </span>
[[Datei:Grün rufezeichen.png|center]]

|
{|
|
* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
|

$\ \ \ \mathbf{sin\ \alpha = \frac{GK}{H}}$
|-
|

* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
|

$\ \ \ \mathbf{cos\ \alpha = \frac{AK}{H}}$
|-
|

* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK

|

$\ \ \ \mathbf{tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}}$
|}

|}

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]
Das Besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
:[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].

{|
|-
| <span style="background-color:#00FFFF"> '''Wichtig:''' </span> Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
|}

<br>
<br>
<br>

=== Steigung und Steigungswinkel ===
[[Datei:Steigung11.png|thumb|right|450px|Steigung und Steigungswinkel]]
Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
Somit erhalten wir die Formel:

{| style="color:red;" cellpadding="10" border="1" align="center"
| $$k=\tan \alpha$$
|}

Mit dieser Formel kann nun einfach zwischen der (prozentuellen) Steigung und dem Steigungswinkel gewechselt werden:
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<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.

- Bestimmen Sie
* a) den Steigungswinkel
* b) die prozentuelle Steigung

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]

$\alpha = 8.05°$

b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
$$k=\ tan\ \alpha$$
$$k=\tan \ 8.05°$$
$$k=0.14=14 \ \%$$
A: Die Steigung beträgt 14 %.

</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Übungen im Rechtwinkligen Dreieck ===

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.mathe-online.at/tests/wfun/defWfun.html Online-Übung zur Überprüfung, ob die richtige Formel verwendet wurde]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html Weitere Übung zur Überprüfung der Formel]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html Und noch eine Übung dazu]

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/rechtw.htm Rechenbeispiele von Jutta Gut (mit Lösungen)]

* [http://matura.marienberg.at/images/0/04/Aufgaben_zu_den_Themen_rechtw_Dreieck_und_Einheitskreis.pdf Aufgabenblatt mit Textaufgaben samt Lösungen]

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<br>
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== Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis ==
=== Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===

[[Datei:Winkel- und Bogenmaß1.png|thumb|right|500px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]

Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit Radius r=1. Sein Umfang beträgt
$$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$

Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:

'''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''

So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.

* Eine volle Umdrehung hat 360°
* Eine halbe Umdrehung hat 180°

'''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''

Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens r (siehe Skizze) bestimmt werden.

* Bei einer vollen Umdrehung hat r die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises, siehe oben). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
* Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Hier findest du ein
[http://www.geogebratube.org/student/m133394 Arbeitsblatt, das dir den Zusammenhang besser erklärt].

{| border="1"
!|<span style="color:#EE4000"> '''Merke''' </span>
[[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]]
|
{|
| Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
|-
| $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.
|}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.

b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Grad- in Bogenmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$

A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$

b) Bogen- in Gradmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
$$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$

A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
</div>

</div>

</div>

</div>

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<br>
<br>

=== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===

====Theorie====
Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:

[[Datei:Sinus und Kosinus und Tangens im Einheitskreis1.png|thumb|right|500px|Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis]]

* Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Tangens entspricht der Länge des [[Tangente | Tangentenabschnittes]] der Tangente durch den Punkt (1,0).

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Begründung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''für den Sinus:'''
Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die Länge der $\color{red}{\textrm{roten Strecke}}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete GK.

Zu zeigen ist nun:
$$\sin \ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

'''Beweis:'''
$$\sin\ \alpha=\frac{GK}{H}=\frac{\color{red}{\textrm{rote Strecke}}}{1}=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
Somit gilt:
$$\sin\ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Mit dem folgenden [http://www.geogebratube.org/student/m133494 Arbeitsblatt] kannst du dein Verständnis vertiefen.

<br>
<br>
<br>

====Wichtige Werte====
Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das [http://www.geogebratube.org/student/m133494 obige Arbeitsblatt] sollte dir dabei helfen:

{| border="1" align="center"
|
| Sinus
| Cosinus
| Tangens
|-
| Gradmaß: 90°
Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad
| 1
| 0
| nicht definiert
|-
| 180°
$\pi$ rad
| 0
| -1
| 0
|-
| 270°
$\frac{3\pi}{2}$ rad
| -1
| 0
| nicht definiert
|-
| 0° und 360°
0 rad und $2\pi$ rad
| 0
| 1
| 0
|}

<br>
<br>
<br>

== Trigonometrische Funktionen ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Öffne das folgende [http://www.geogebratube.org/student/m133564 Arbeitsblatt]. Hier findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die unten abgebildten Graphen der Sinus-, Cosius und Tangensfunktion kommt.

=== Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$ ===

Stellt man den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:

[[Datei:Sinusfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

<br>
<br>
<br>

===Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$ ===
Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Cosfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

<br>
<br>
<br>

===Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$ ===
Der Graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Tangensfkt1.png|thumb|center|700px|Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

# Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
# Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die [[Wertemenge]] $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Betrag]] verwendet.)
# Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
# Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Wichtige Werte | Tabelle zum Einheitskreis]] herausgelesen werden.
</div>

</div>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Das allgemeine Dreieck ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> <span style="background-color:yellow"> Zusatz: </span> Dieser eingeklappte Abschnitt ist kein Kernstoff zur Matura. Allerdings helfen dir die hier beschriebenen Formeln, gewisse Beispiele schneller und einfacher zu berechnen. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]

Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.

Ohne rechten Winkel können wir die [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens]] nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:

a) den Sinussatz

b) den Cosinussatz und

c) die allgemeinen Flächenformeln

Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechten Winkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Sinussatz ===
{| align="right"
|{{#ev:youtube|Mvm69Wj8doo}}
|}
Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck

1. eine Seite '''und'''

2. der gegenüberliegende Winkel '''und'''

3. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.

{| style="color:red;" border="1" align="center"
| '''Formel für den Sinussatz'''
|-
| $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$
|}

Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes:

<br>
<br>
<br>

=== Cosinussatz ===

{| style="color:red;" border="1" align="center"
!| Formeln für den Cosinussatz
|-
|
*$ a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\ \alpha$
* $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\ \beta$
* $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\ \gamma$
|}

Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:

: a) 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist '''oder'''

: b) alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will.

{| border="1" align="center"
!| Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.

:: <span style="color:red"> gegebene Größen </span>
:: <span style="color:blue"> berechenbare Größen </span>
|-
|
{| align="center"
| [[Datei:Cosinussatz2.png|thumb|300px|Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden]]
| [[Datei:Cosinussatz1.png|thumb|300px|Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden]]
|}
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/dreiecke.htm Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut (samt Lösungen)]

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

== Vermessungsaufgaben ==
=== Begriffe ===

[[Datei:Höhen- und Tiefenwinkel.gif|right]]

* '''Höhenwinkel'''
Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Höhe".

* '''Tiefenwinkel'''
Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Tiefe".

* '''Sehwinkel'''
Der Sehwinkel ist das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) "einfängt".

<br>
<br>
<br>

=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/verm.htm Beispiele zu den Vermessungsaufgaben von Jutta Gut (samt Lösungen)]

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ==
{| border="1" align="center"
|-
|
| rechtwinkliges Dreieck
| allgemeines Dreieck

|-
| Winkelsumme
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
|-
| Pythagoras
| $H^2=GK^2+AK^2$
| gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
|-
| Flächeninhalt
| $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
| $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
|
| $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
|
| $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
|}

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm.pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=30&file=Schifahren.pdf Schifahren] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
: Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
: Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)
:* siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
: Siehe auch [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
: Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch
: * [[Beschreibende Statistik]]
: * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
: '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=141&file=Milchverpackung.pdf Milchverpackung] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für b) [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)]] und für <span style="background-color:yellow"> c) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]]

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Formeln

2014-08-27T08:55:35Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

== Was ist eine Formel ==

Eine mathematische Formel ist eine [[Gleichung]], die einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Größen herstellt.

Beispiel: Die Flächenformel für das [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | rechtwinklige Dreieck]] lautet
$$ A=\frac{a\cdot b}{2}$$
und stellt einen Zusammenhang zwischen der Dreiecksfläche $A$ und den beiden [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Katheten]] $a$ und $b$ dar.

Beispiele für Formeln:
* [[Satz des Pythagoras]]: $a^2+b^2=c^2$
* [[Große Lösungsformel]]: $\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$
* [[1. Binomische Formel]]: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

== Formeln aufstellen ==

== Umformen von Formeln ==

Oft ist es wichtig, eine Formel umzuformen, um eine Variable freizustellen. Um die Formel umzuformeln, verwendet man [[Äquivalenzumformungen]].

Wichtig ist dabei immer folgendes:
{| border ="1"

| '''Merke'''

|<p style="background-color:#E0E0E0">

{|
|
# Wenn die freizustellende Variable in einem Nenner steht, immer zuerst den Bruch auflösen (z.B. mit dem Nenner multiplizieren)
# Anschließend immer zuerst die Terme auf die andere Seite bringen, die der freizustellendne Variable am weitesten entfernt sind.
|}
</p>
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist die Flächenformel des [[Trapez]]:
$$ A=\frac{a+c}{2}\cdot h $$

* a) Stellen Sie $h$ frei.
* b) Stellen Sie $a$ frei.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ A=\frac{a+c}{2}\cdot h \ \ \ |\cdot 2$$
$$ 2\cdot A=(a+c)\cdot h\ \ \ |:(a+c) \ \ \textrm{Achtung! Klammer nicht vergessen}$$
$$ \underline{\underline{\frac{2\cdot A}{a+c}=h}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$A=\frac{a+c}{2}\cdot h \ \ \ |:h$$
$$\frac{A}{h}=\frac{a+c}{2}\ \ \ |\cdot 2$$
$$\frac{2\cdot A}{h}=a+c \ \ \ |-c$$
$$\underline{\underline{\frac{2\cdot A}{h}-c=a}}$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Hinweis 1: Bei dieser Aufgabe hätte man auch zuerst mit 2 multiplizieren können und erst nacher durch h dividieren (oder beides gleichzeitig) - das Ergebnis wäre dasselbe.

Hinweis 2: Wer will, kann in der letzten Zeile c auch in den Zähler "heben" und erhält:
$$\frac{2\cdot A-c\cdot h}{h}=a$$

== Abhängigkeiten von Formeln interpretieren ==

== Matura-Aufgaben==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne] (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=141&file=Milchverpackung.pdf Milchverpackung] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für b) [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)]] und für <span style="background-color:yellow"> c) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]]

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

Formeln

2014-08-27T08:51:06Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

Formeln

2014-08-27T08:50:50Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

Lineare Funktionen

2014-08-27T08:50:20Z

62.47.209.23: /* Offizielle Bifie-Aufgaben */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]

<ggb_applet width="923" height="445" version="4.2" 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== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

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== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

----
----
<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Grundkompetenzen Teil A

2014-08-27T08:49:00Z

62.47.209.23: /* Algebra und Geometrie */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen des gemeinsamen Teils (Teil A) auf. Für jene Kompetenzen, die in allen HLWs zusätzlich noch verlangt werden, klicke auf [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6]]

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 5 Inhaltsbereiche gegliedert:

== Zahlen und Maße ==

{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|1.1.
| mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen rechnen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der Zahlengeraden veranschaulichen
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| Theorie]]
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)#Beispiele Zahlenmengen (1.1.) | Beispiele]]
|-
|1.2.
| Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung in der Form $\pm a\cdot 10^{k} $ mit <math> 1 \leq a < 10 \textrm{und} a \in \mathbb{R} ,\ k \in \mathbb{Z} </math> darstellen und damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3) | Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Beispiele]]
|-
|1.3.
| Vielfache und Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen (Nano bis Tera); Größen als Maßzahl mal Maßeinheit darstellen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Beispiele]]
|-
|1.4.
| überschlagsrechnen und runden, Ergebnisse beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in
kontextbezogener Genauigkeit angeben
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Theorie]]
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.)#Beispiele Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Beispiele]]
|-
|1.5.
| Zahlenangaben in Prozent und Promille im Kontext anwenden und mit Prozentsätzen und
Promillesätzen rechnen
| [[Prozentrechnung (1.5.) | Theorie]]
| [[Prozentrechnung (1.5.)#Beispiele Prozentrechnung (1.5.) | Beispiele]]
|-
|1.6.
| den Betrag einer Zahl verstehen und anwenden
| [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Theorie]]
| [[Betrag einer Zahl (1.6.)#Beispiele Betrag (1.6.) | Beispiele]]
|}
<br>
<br>
== Algebra und Geometrie ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|2.1.
| Rechnen mit Termen
| [[Rechnen mit Termen(2.1.)| Theorie]]
| [[Rechnen mit Termen (2.1.)#Beispiele (2.1.) | Beispiele]]
|-
|2.2.
| Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten anwenden;
Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen
| [[Potenzen (2.2.) | Theorie]]
| [[Potenzen (2.2.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.3.
| Rechengesetze für Logarithmen anwenden
| [[Der Logarithmus (2.3.)| Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.4.
| lineare Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen, die Lösungen
interpretieren und argumentieren
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) | Theorie]]
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) #Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.5.
| Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen, begründen und interpretiere
| [[Formeln | Theorie]]
| [[Formeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.6.
| eine Formel nach einer der variablen Größen umformen und die gegenseitige Abhängigkeit
der Größen in einer Formel interpretieren und erklären
| [[Formeln | Theorie]]
| [[Formeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.7.
| lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle argumentieren, interpretieren und grafisch veranschaulichen
| [[Gleichungssysteme (2.7.) | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.8.
| lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen anwendungsbezogen aufstellen, mithilfe
von Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren und argumentieren
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#mit mehreren Variablen | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.9.
| quadratische Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und argumentieren
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.) | Theorie]]
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.10.
| Exponentialgleichungen vom Typ $ a^{k\cdot x}=b $ nach der Variablen
x auflösen
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Beispiele]]
|-
|2.11.
| Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mit Einsatz von Technologie auflösen und das Ergebnis interpretieren
| [[Solve- und Löse-Befehl | Theorie]]
| [[Solve- und Löse-Befehl#Beispiele zu 2.11. | Beispiele]]
|-
|2.12.
| Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck durch Sinus, Cosinus und Tangens eines
Winkels angeben; Seiten und Winkel anwendungsbezogen berechnen
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

== Funktionale Abhängigkeiten ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|3.1.
| eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der
Abhängigkeit zwischen Größen interpretieren;
den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologie darstellen, Funktionswerte ermitteln
und den Verlauf des Graphen im Kontext interpretieren
| [[Funktion (3.1.)| Theorie]]
| [[Funktion (3.1.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.2.
| lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die
Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren;
den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung
der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen interpretieren;
eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion interpretiere
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|3.3.
| Potenzfunktionen ($y=c\cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{R} $ sowie $y=\sqrt{x}$) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren
| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.4.
| Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften
bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten)
interpretieren und damit argumentieren
| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.5.
| Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren
| [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.6.
| ineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit
einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren
| [[Wachstumsfunktionen (3.6) | Theorie]]
| [[Wachstumsfunktionen (3.6)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.7.
| die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als
Lösung(en) einer Gleichung interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.8.
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz
bestimmen und diese im Kontext interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.9.
| anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen
(lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Theorie (3.9.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.10.
| Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und
die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und argumentieren
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

== Analysis ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|4.1.
|Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen auf der Basis eines intuitiven Begriffsverständnisses
argumentieren
| [[Theorie Grenzwert| Theorie]]
| [[Theorie Grenzwert#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.2.
| Differenzen- und Differenzialquotient als Änderungsraten interpretieren, damit anwendungsbezogen modellieren, rechnen und damit argumentieren
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|4.3.
| die Ableitungsfunktionen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen und Funktionen,
die aus diesen zusammengesetzt sind, berechnen
| [[Ableitungsregeln | Theorie]]
| [[Ableitugnsregeln#Beispiele| Beispiele]]
|-
|4.4.
| Monotonieverhalten, Steigung der Tangente und Steigungswinkel, lokale Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte von Funktionen am Graphen ablesen, mithilfe der Ableitungen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Kurvendiskussionen | Theorie]]
| [[Kurvendiskussionen#Maturabeispiele | Beispiele]]
|-
|4.5.
|den Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitungsfunktion bzw. einer Stammfunktion beschreiben; in ihrer grafischen Darstellung interpretieren und argumentieren
| [[graphisches Differenzieren | Theorie]]
| [[graphisches Differenzieren#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.6.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integrationsregeln | Theorie]]
| [[Integrationsregeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.7.
| das bestimmte Integral auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes als Grenzwert
einer Summe von Produkten interpretieren und damit argumentieren
| [[Integrieren| Theorie]]
| [[Integrieren#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.8.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integrieren| Theorie]]
| [[Integrieren#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<br>
== Stochastik==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|5.1.
|Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten)
grafisch darstellen und interpretieren sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise
anwendungsbezogen argumentieren (reis-, Stab- und Balken-/Säulendiagramme,
Boxplot)
| [[statistische Diagramme| Theorie]]
| [[statistische Diagramme#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.2.
| Mittelwerte und Streuungsmaße von Häufigkeitsverteilungen berechnen, interpretieren und
argumentieren
| [[statistische Kennzahlen| Theorie]]
| [[statistische Kennzahlen#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.3.
| die Wahrscheinlichkeit als intuitiven Grenzwert relativer Häufigkeit interpretieren
| [[Wahrscheinlichkeit| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit#Beispiele| Beispiele]]
|-
|5.4.
| die Additionsregel auf einander ausschließende Ereignisse und die Multiplikationsregel auf
unabhängige Ereignisse anwenden; Zufallsexperimente als Baumdiagramm darstellen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Wahrscheinlichkeit#Baumdiagramme| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.5.
|mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten
berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren
| [[Binomialverteilung | Theorie]]
| [[Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.6.
|mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren, Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ interpretieren und Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsdichte argumentieren
| [[Normalverteilung| Theorie]]
| [[Normalverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

[[Kategorie: Angewandte Mathematik]]

Grundkompetenzen Teil A

2014-08-27T08:48:42Z

62.47.209.23: /* Algebra und Geometrie */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen des gemeinsamen Teils (Teil A) auf. Für jene Kompetenzen, die in allen HLWs zusätzlich noch verlangt werden, klicke auf [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6]]

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 5 Inhaltsbereiche gegliedert:

== Zahlen und Maße ==

{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|1.1.
| mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen rechnen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der Zahlengeraden veranschaulichen
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| Theorie]]
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)#Beispiele Zahlenmengen (1.1.) | Beispiele]]
|-
|1.2.
| Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung in der Form $\pm a\cdot 10^{k} $ mit <math> 1 \leq a < 10 \textrm{und} a \in \mathbb{R} ,\ k \in \mathbb{Z} </math> darstellen und damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3) | Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Beispiele]]
|-
|1.3.
| Vielfache und Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen (Nano bis Tera); Größen als Maßzahl mal Maßeinheit darstellen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Beispiele]]
|-
|1.4.
| überschlagsrechnen und runden, Ergebnisse beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in
kontextbezogener Genauigkeit angeben
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Theorie]]
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.)#Beispiele Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Beispiele]]
|-
|1.5.
| Zahlenangaben in Prozent und Promille im Kontext anwenden und mit Prozentsätzen und
Promillesätzen rechnen
| [[Prozentrechnung (1.5.) | Theorie]]
| [[Prozentrechnung (1.5.)#Beispiele Prozentrechnung (1.5.) | Beispiele]]
|-
|1.6.
| den Betrag einer Zahl verstehen und anwenden
| [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Theorie]]
| [[Betrag einer Zahl (1.6.)#Beispiele Betrag (1.6.) | Beispiele]]
|}
<br>
<br>
== Algebra und Geometrie ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|2.1.
| Rechnen mit Termen
| [[Rechnen mit Termen(2.1.)| Theorie]]
| [[Rechnen mit Termen (2.1.)#Beispiele (2.1.) | Beispiele]]
|-
|2.2.
| Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten anwenden;
Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen
| [[Potenzen (2.2.) | Theorie]]
| [[Potenzen (2.2.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.3.
| Rechengesetze für Logarithmen anwenden
| [[Der Logarithmus (2.3.)| Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.4.
| lineare Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen, die Lösungen
interpretieren und argumentieren
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) | Theorie]]
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) #Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.5.
| Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen, begründen und interpretiere
| [[Formeln) | Theorie]]
| [[Formeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.6.
| eine Formel nach einer der variablen Größen umformen und die gegenseitige Abhängigkeit
der Größen in einer Formel interpretieren und erklären
| [[Formeln | Theorie]]
| [[Formeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.7.
| lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle argumentieren, interpretieren und grafisch veranschaulichen
| [[Gleichungssysteme (2.7.) | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.8.
| lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen anwendungsbezogen aufstellen, mithilfe
von Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren und argumentieren
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#mit mehreren Variablen | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.9.
| quadratische Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und argumentieren
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.) | Theorie]]
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.10.
| Exponentialgleichungen vom Typ $ a^{k\cdot x}=b $ nach der Variablen
x auflösen
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Beispiele]]
|-
|2.11.
| Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mit Einsatz von Technologie auflösen und das Ergebnis interpretieren
| [[Solve- und Löse-Befehl | Theorie]]
| [[Solve- und Löse-Befehl#Beispiele zu 2.11. | Beispiele]]
|-
|2.12.
| Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck durch Sinus, Cosinus und Tangens eines
Winkels angeben; Seiten und Winkel anwendungsbezogen berechnen
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

== Funktionale Abhängigkeiten ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|3.1.
| eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der
Abhängigkeit zwischen Größen interpretieren;
den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologie darstellen, Funktionswerte ermitteln
und den Verlauf des Graphen im Kontext interpretieren
| [[Funktion (3.1.)| Theorie]]
| [[Funktion (3.1.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.2.
| lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die
Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren;
den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung
der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen interpretieren;
eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion interpretiere
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|3.3.
| Potenzfunktionen ($y=c\cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{R} $ sowie $y=\sqrt{x}$) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren
| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.4.
| Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften
bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten)
interpretieren und damit argumentieren
| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.5.
| Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren
| [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.6.
| ineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit
einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren
| [[Wachstumsfunktionen (3.6) | Theorie]]
| [[Wachstumsfunktionen (3.6)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.7.
| die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als
Lösung(en) einer Gleichung interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.8.
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz
bestimmen und diese im Kontext interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.9.
| anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen
(lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Theorie (3.9.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.10.
| Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und
die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und argumentieren
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

== Analysis ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|4.1.
|Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen auf der Basis eines intuitiven Begriffsverständnisses
argumentieren
| [[Theorie Grenzwert| Theorie]]
| [[Theorie Grenzwert#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.2.
| Differenzen- und Differenzialquotient als Änderungsraten interpretieren, damit anwendungsbezogen modellieren, rechnen und damit argumentieren
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|4.3.
| die Ableitungsfunktionen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen und Funktionen,
die aus diesen zusammengesetzt sind, berechnen
| [[Ableitungsregeln | Theorie]]
| [[Ableitugnsregeln#Beispiele| Beispiele]]
|-
|4.4.
| Monotonieverhalten, Steigung der Tangente und Steigungswinkel, lokale Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte von Funktionen am Graphen ablesen, mithilfe der Ableitungen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Kurvendiskussionen | Theorie]]
| [[Kurvendiskussionen#Maturabeispiele | Beispiele]]
|-
|4.5.
|den Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitungsfunktion bzw. einer Stammfunktion beschreiben; in ihrer grafischen Darstellung interpretieren und argumentieren
| [[graphisches Differenzieren | Theorie]]
| [[graphisches Differenzieren#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.6.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integrationsregeln | Theorie]]
| [[Integrationsregeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.7.
| das bestimmte Integral auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes als Grenzwert
einer Summe von Produkten interpretieren und damit argumentieren
| [[Integrieren| Theorie]]
| [[Integrieren#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.8.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integrieren| Theorie]]
| [[Integrieren#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<br>
== Stochastik==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|5.1.
|Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten)
grafisch darstellen und interpretieren sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise
anwendungsbezogen argumentieren (reis-, Stab- und Balken-/Säulendiagramme,
Boxplot)
| [[statistische Diagramme| Theorie]]
| [[statistische Diagramme#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.2.
| Mittelwerte und Streuungsmaße von Häufigkeitsverteilungen berechnen, interpretieren und
argumentieren
| [[statistische Kennzahlen| Theorie]]
| [[statistische Kennzahlen#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.3.
| die Wahrscheinlichkeit als intuitiven Grenzwert relativer Häufigkeit interpretieren
| [[Wahrscheinlichkeit| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit#Beispiele| Beispiele]]
|-
|5.4.
| die Additionsregel auf einander ausschließende Ereignisse und die Multiplikationsregel auf
unabhängige Ereignisse anwenden; Zufallsexperimente als Baumdiagramm darstellen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Wahrscheinlichkeit#Baumdiagramme| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.5.
|mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten
berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren
| [[Binomialverteilung | Theorie]]
| [[Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.6.
|mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren, Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ interpretieren und Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsdichte argumentieren
| [[Normalverteilung| Theorie]]
| [[Normalverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

[[Kategorie: Angewandte Mathematik]]

Quadratische Funktionen

2014-08-27T08:42:21Z

62.47.209.23: /* Matura-Beispiele */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen|Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
<div align="right">mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </div> }}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.

Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

<br>
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>

== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
<br>
<br>
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

<br>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel nach 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.
|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$
1. Schritt: ausquadrieren
$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$
2. Schritt: vereinfachen
$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$
$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$
Die Normalform von $f$ lautet $\underline\{underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

<br>
<br>
<br>

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
<br>
<br>
<br>

'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
<br>
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

<br>

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
<br>

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Online-Übungsmaterialien ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]

== Matura-Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
*: Aufgabe b) lernst du erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
*: <span style="background-color:yellow"> Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen </span> da du hier [[Bestimmen der Tangentengleichung | die Tangentengleichung bestimmen musst.]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=133&file=Laptops.pdf Laptops] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
*: siehe auch: [[Quadratische Gleichungen]]

[[Kategorie: Funktionen]]

Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung

2014-08-27T08:39:16Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

== Matura-Aufgaben ==

=== bereits ab der 1. und 2. Klasse machbar ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Lineare Funktionen]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Lineare Funktionen]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)
:: siehe auch: [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=129&file=Stadtverkehr.pdf Stadtverkehr] (leicht-leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (mittel)
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]]

Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung

2014-08-27T08:36:16Z

62.47.209.23: /* bereits ab der 1. und 2. Klasse machbar */

== Matura-Aufgaben ==

=== bereits ab der 1. und 2. Klasse machbar ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Lineare Funktionen]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Lineare Funktionen]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)
:: siehe auch: [[Trigonometrie]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=129&file=Stadtverkehr.pdf Stadtverkehr] (leicht-leicht-mittel)

Kurvendiskussionen

2014-08-27T08:33:30Z

62.47.209.23: /* Maturabeispiele */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8?t=27s}}
|}

'''Wichtig!''': Die folgenden Punkte gehören ebenfalls zum Thema Kurvendiskussionen, werden aber auf anderen Seiten behandelt:
* [[Steigung und Steigungswinkel]]

<br>
<br>
<br>

== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

<br>
<br>
<br>
== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

{{:Extremstellen}}

<br>
<br>
<br>

== Wendepunkt und Wendetangente ==
{{:Wendepunkt und Wendetangente}}

<br>
<br>
<br>

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
|
{{#ev:youtube|x6PCkKP3PT4?t=3s}}

|
{{#ev:youtube|tmrpkUuQgj4}}
|}

== Online-Musterbeispiele und -Übungen ==

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/musterkd.htm Musterbeispiel von Jutta Gut]
* [http://matheguru.com/analysis/192-beispiel-einer-kurvendiskussion.html Musterbeispiel von "Matheguru"]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://www.geogebratube.org/student/m84598 Online-Übung zu Kurvendisskussionen (GeoGebra)] <span style="background-color:yellow"> WICHTIG </span>

== Maturabeispiele ==

# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=16&file=Steinschleuder.pdf Steinschleuder] (Bifie-Aufgabe: mittel)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | Differentialquotient]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=144&file=Zylindrische_Gefaesse.pdf Zylindrisches Gefäß] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=128&file=Tagestemperaturverlauf.pdf Tagestemperaturaverlauf] (Bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=143&file=Gelaendewagen.pdf Geländewagen] (Bifie-Aufgabe: schwer-mittel-schwer)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=74&file=Hefepilze.pdf Hefepilz] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=70&file=Strassenbahn.pdf Straßenbahn] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=39&file=Simulation_eines_Golfballflugs.pdf Simulation eines Golfballflugs] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel-schwer)
#: Hier brauchst du auch Wissen über [[Steigung und Steigungswinkel]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Schispringen] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] und [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=126&file=Kugelstossen.pdf Kugelstoßen] (leicht-mittel-mittel)
#: siehe hier auch das Thema [[Steigung und Steigungswinkel]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
#: Hier brauchst du auch Wissen über [[Integration]] (Aufgabe a) sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]] (Aufgabe d)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
#: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie: Differenzieren]]
[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]

Lineare Funktionen

2014-08-27T08:31:20Z

62.47.209.23: /* Offizielle Bifie-Aufgaben */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

<br>
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<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

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== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]

<ggb_applet width="923" height="445" version="4.2" ggbBase64="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== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

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== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

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== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
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1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

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4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

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5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
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6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2014-08-27T08:30:22Z

62.47.209.23: /* Offizielle Bifie-Aufgaben */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

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<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
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== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
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Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

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== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
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[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

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== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]

<ggb_applet width="923" height="445" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAFRraEMAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfdGh1bWJuYWlsLnBuZ1VVdzQcwLvd1UsWWb1mdVGilxAtIXqN3rO6KFGjWyQSVo0QvUZbJSFYYpWQVaOL6N1aohPEWp733u+f33fOd+fMnG/uzDfn3DvxhvoaIAoWCgAAANLSVDO+Hftv04qM5BbxZ8zTAAB4S0tN1SR4bs923oe+j/n8WcEl/yfRkCoTwSOa+0Y0yDhICQOd4eMnd5noOPn7te6W3AVxZarbEvAmv2FzJIuzcOgiL6ZLBD7Z4PtA8+A2Y5PqQRcJn5nmmZYvQiMdMcGopaGfD9vCzvIkHWvPbJRG/wUFRZ7YnufShU5zKIVrCno5OHRJhoriqMCiIBAo4OrCl4Wd/dc6VsXe+HGj5+xMSPCMsp2xlMrVHm4NDW+MxIfKhxzzEPZnCJlX1tXpp5QSK5L2Fj/BdB2yQQAkyTk5LGcpw8PDq/729vcCg4LAFSGHK0AclWxzW1sYAYgKxeD+sjcsfGlmhqn8+w3obZ3Zp9VOYE5zczN5OJP7hc9h5M6fP/yHHhuEUnnUYzBGZiWV2A7nixXXQ28ZF5Szi8tEGrdG96nraEHT7pDn1VGBffrkxbrk0bf83s6yMmeCpMlAR8/EcIukm/aw80//uoxMplR1Mu9MVhQqfVqy2zrSKNT3zzwZPEibzEOf30/jCp+hGjGaCJt9VRPS6rv+FBt3LlFUZNseaprimBWHHRKNx4zyD45w8NIHoVg+iqnAhDOmJycdcYqGCRlWmXZlPgqXL37Xtc5FSaGymq6uwueQPvfYFYKEuWA/3r/6HHw32vficAZncQQlp0Hyarq7388l8+ZiK/IvsW9w0rKp7R4QVlVzWBF+T6QudKgbwwRcI+mGw+Ei26vk3ZyEqZDbAgFVOTG7qHwBWUa4/8tP2bwqDh8Oz0YUDl6b/ynT+ah/8XZuzko+9NRNk47DxTVyoT3sNx1kc3PzQ1qaamxsbKau5xIqe6RQefTUH4sxazQDVFVWFoWcYN6QKHws18/fCR4PQqk9YSVvF1SJ+dEmKMollgju8bH7ACSA2+a9tG72LKZkfGCoqhq9rXx2fq6gTQPw+h5DnI4FNuzu7pKfvowor6jInSBgkpuusaSNTBoNsW71c2YagzOI+KHc+Je4y5Je29FDVNdsMzlUZppepALXv45+ezw36GTaWloaO8xc3SEkJMQeEu30xbiHu11/SI6Mj52v9q5XKl1WEe78gNrAjO38YLmQKNW02my8N4l1+/Lvn3RPNt+Y0lprZDJ70deGtzU8/cebQ1XV1TosENUE3koCnoI1SMmPizU45xkHS3e5Xi7flfJI6nU4FecGTIyAlAQDYTCQi2jBA1jGM2FDzOcc3v6ynyfBEMPcoku1S24AGZ/Ubgwazji/E8HUuLPjEXf9q9pciHBjokxH1/h5aoVudgkQ7AjLqjIuQnNlZmSos8p4khmESuXVy3UTtnrNy2BWc2W8WJ6N62hrz0CT0M2Vle8mJiaYQFCtq5vxnJycmbyTOxCy5HcgXeiElfTFsWkORTu9yC6dUKj3Jxwabn2KAJCDD56Gcot14PYfmZqajufnzCcG4c72PMffEEXvPCB4XX0cEhKyewcCoLE4dRnJG5h6ca2ILV6ssW2TEVYf6xRWMambnBq2NjN7+vDhw2g/cj5B0fgVTJNER7GVZOnFAKCU3jxck3imuC1oDwpYAcy2vRLFXWWY2z0fYXcDfe64FEyHXFCpADUPo9ik8hgtYWobGPUs2zJf9nHK/zULAtEK/XyKZR5TGJE72/x8m1e7sTSyenugy3Hn4E/97rzAX0pKylkeUkjisnX7mZ+NcYvRHVYiWVAzgfITg9foUXdIziF7ZJdmLOHnJKngUeUtqUfenBOHyyud/MfPbx2B84z7+D8ecPhbPxz2FGWmoHRhiSJJi5P9kVukVOSDUvLHJDrbu6yPhhAs66+PLrO619TNazoGLi4utje6jgoMZ0vSWf0qNHZ1TVm/yD3y6CVVil0cX1ra738r55I37T3ip5T420Pa9ajdNbrbDbvOq84FDq0kHitsvbxrEP24VJDYgedSURpENyg160Bpr+jIvNI9yFm3Vr9BXE07RRaZvsZp6ObsqNZNadPkUk/hyPZjBvmMjcgYiKjOutnqbckioXDOefaFmBHlOSuBqYedP/70lhaQ5oPNvtBv8pEMrQbcNfNooVlVigszbLpxoqKTV+/gXlWXoereKvVk2yhNUYLWN01NmZj3oSVhDmvcXClxAfRpBX2aC6h6M/x3+5H5F5/by4FcqqK54JJB+EdfmlPqrpUwA8Ba0AOGBwlwCRRDxCign9UH9T3AVxKZZ0TE4t/0E7sH6GONlJwWNGsEHL0/v75W3ba5n31dfOyQhvKviLuND2uQg/bzAmM2IspHS8jm5tBSaHz042wb4QoHSpXv6gJ2cDBFyfF0rfXu393Zr/zAMeEYUYxHfCOAJCC0+pHI0hc/oIMEqtrGtfFUlYzOL1781f47OjEnHKlKC+ji4sixTK5/SLSzho7Ush5K/Oxzoj/PnHhjOMeP+4x/uqIJm1stAEzm9akx3vR531eY5vfmkfwRfBiP7IcEuzxkAH4WH3lDuSW1eHGxlf2mpZorXqmogi8W/f3978oI1T0fURHkjj84e36lPFpIKk5Cke9XnxcjkpWqIlVQFGtFFFqz2/LynT42zeL+lwaFv14/f0mUIgnIYBTzhKiXhA80vzdbEFM8QX6kf0LD+5SGoM4idfVHmlEGCoM2i5HbhA4U0TBS+sQyK4r+XJlGeGVUbPYJshmAiVIa17IlvpJmBFymfgJxpcPp4U5otRVi56iip4en4Z2eNJqJyKUG2Y6/ihmnUPRcG20j/+rCLiuYfoRgv/1kDo7m7b3Gj4eVvT8qiPOvD6Z5KsMI3xrux0C/w3lz4W9QYhk2wprKt3DIdTvtMPWr72qzfcBgbr+6nsLD+Ge8VMO41WI5fFKDkpHqLU8vwH95cAOqihjYgB4td80w/fvCElVgzdtDSnXEMZCo3Kt+S7/MXWYjjCR8Mz5GumlkJHoZN0mgn6A5dC33d5T3Kdb1cXqx/fKkgHtTAr2j3YJxfYu5x/m+77pCdu/4SQlo3OmESo7nPfP2LK5BgmUfy3Qu/Nru/PXp8ZL/Flg+V9YKxoTbAvfUBHlJJJVuzaIQ3tLihv4HlqfHVSAJ9UtMjXAom4QJ63QdKGra1OYnFUytbK613ge53Y5Rp4egojQT31D2wZ7/fRd4u98c1XKsxgmYMLLQTBkc4h9biQhTBSrIIxDdhUilIcSmayPuXrgKtZ9/lbSCwmqhQCIdhCz0Qd4N47wX4GpDkbkAHFh2il1slEIY6JXdpZVGiIimsKe8cerFuG6P6DEzr462nLqT68UU8wh+EqFMXdd46/79nsFkAjrKsQuLaDJ/wRopXLqUfOR22tVD5YEKyLSKlP+Yuo59UWRYHv+dQTM1re6BhwVSP6HjZEWVJKc8iTV7WDzh/cnDh7oTUuEXzx+TUpgC/XaxNCIRYakUrwKNDPxpF/8daJ39+1fr6LGHHXNqOqtQtJwK2SKJ6NzEH7q+GkyYBabyrMmFcgjc+UEiPxrQ4zT7fJAKUsb75HRLGWS45Lp4hwnv5aiBf9MgpoLQoaja1n6o4I1vg7Hj94YDIpazdkIDD/hXryMvtkhPh8xbA9oFFDj7jA7EMogA0RvLX8Oyrg8vIV54XA95lxjBxoLyBFaZuUpq5nfPVNXg55OZ8fOitLp9jmfPo67Cey7mTnQnbIQWHpdy91wWIAh+VKtwFuDkTE1+NLP4t/koYxf3c7egvkh5gARJIidJYomibXnXisYidUUPeEPLgBGfJWlZW/swIjV6s/vs708MEzNbUSH1hhi5vy/uLbl4cuQRWF9aNahWGzGQf/uL+10GfJP251vME49lvwr8VWO5q5B3UhhVIGhs7HZAKfra/eLVVeLoCwZRqopgiFvVe4+YrWVTYz2IiPMzvTGkNoI8GKkjrRonFUk7UDSP3JrwcblOjrzRpoxo2AcvKoV98C6QV2vavIFu5fh0Fu9I2n+VTEY0fK48WyDfblCGxnPL1FFtJqfWFd8S16fpSauywLUR8cEpTr2FjJ8ztaRXzwVonKMiW8Ozk1/fOaBcjjoIXY4ca1uU9bZycWGIuA65N5w9qdlph7eelCMxqYiua1Y5KkhEYRUpInZZ7YezvxaW67Ya3IuyGVrqtDhac6KHOLl9xAemVfVppTgmLqC+vcx7FTFvSi5OSAZlOB/5mEOgpkMjogp22Uy/X+hIQiMlBHMjB3OTg/WKxrwug6npEJ7S5RQ0eKfyTlQwmLSKrTLg0z0QPn/noXrSkyTtiOpjsEg7hQgMlv/B6Y/2LPCHz1KsVLLqGjoQNqVUVXYatp18yqzHnCjTpCS9TzrpWS0+Ww4E8wN8n6DnFhqykwPvlc7+WkevDN7LeKYaBtyUxhidjKlpdB1OPtduy2VArs3oZhhv3qrWCp2QlrAZl1bwW8ZMxvgDxFnRefdkYXqBfMfkwE201stCp/ZJra/r2OwsEwJVSaDGui0uMbH48gSD3JR0F2/3+MaNR7RVZ4U6lycT/+IVcAyvPoaS0EiyJs97IuV9iKE2Jcx9wWvoDH6KJFnjN0pWVp+3+84Y0s61B05FzPJkCX4Mxq3LzB9/2/RVSD7q15FjpMTpVm9AVw3v4whZNZp3qf3CTfzqIfhbCM6G8CsZPuDnr8jFDIdpKwQ9cml6kf8fUz0TCjkZlu0xDttBVz3/VlMuLD8V8M7FdLiEtpbfzXVIf268MXYn7E9fs1LYlJ4QwlxzC8p5o+VMKfMBYzSAJrhpaLUQ4EW8h/MucWeHwF5kDKPXzjXvMw6NIviWr69E9kQW/2gte4/BwY7n+895P3+4IypA4c2nqnbbqLecQ5tvbm1xJ6fLOhgUsWAuHS+1G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== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

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== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen]]

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== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
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1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

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4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

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5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
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6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2014-08-27T08:29:46Z

62.47.209.23: /* Offizielle Bifie-Aufgaben */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

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<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
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== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
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Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

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== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
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[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

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== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]

<ggb_applet width="923" height="445" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAFRraEMAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfdGh1bWJuYWlsLnBuZ1VVdzQcwLvd1UsWWb1mdVGilxAtIXqN3rO6KFGjWyQSVo0QvUZbJSFYYpWQVaOL6N1aohPEWp733u+f33fOd+fMnG/uzDfn3DvxhvoaIAoWCgAAANLSVDO+Hftv04qM5BbxZ8zTAAB4S0tN1SR4bs923oe+j/n8WcEl/yfRkCoTwSOa+0Y0yDhICQOd4eMnd5noOPn7te6W3AVxZarbEvAmv2FzJIuzcOgiL6ZLBD7Z4PtA8+A2Y5PqQRcJn5nmmZYvQiMdMcGopaGfD9vCzvIkHWvPbJRG/wUFRZ7YnufShU5zKIVrCno5OHRJhoriqMCiIBAo4OrCl4Wd/dc6VsXe+HGj5+xMSPCMsp2xlMrVHm4NDW+MxIfKhxzzEPZnCJlX1tXpp5QSK5L2Fj/BdB2yQQAkyTk5LGcpw8PDq/729vcCg4LAFSGHK0AclWxzW1sYAYgKxeD+sjcsfGlmhqn8+w3obZ3Zp9VOYE5zczN5OJP7hc9h5M6fP/yHHhuEUnnUYzBGZiWV2A7nixXXQ28ZF5Szi8tEGrdG96nraEHT7pDn1VGBffrkxbrk0bf83s6yMmeCpMlAR8/EcIukm/aw80//uoxMplR1Mu9MVhQqfVqy2zrSKNT3zzwZPEibzEOf30/jCp+hGjGaCJt9VRPS6rv+FBt3LlFUZNseaprimBWHHRKNx4zyD45w8NIHoVg+iqnAhDOmJycdcYqGCRlWmXZlPgqXL37Xtc5FSaGymq6uwueQPvfYFYKEuWA/3r/6HHw32vficAZncQQlp0Hyarq7388l8+ZiK/IvsW9w0rKp7R4QVlVzWBF+T6QudKgbwwRcI+mGw+Ei26vk3ZyEqZDbAgFVOTG7qHwBWUa4/8tP2bwqDh8Oz0YUDl6b/ynT+ah/8XZuzko+9NRNk47DxTVyoT3sNx1kc3PzQ1qaamxsbKau5xIqe6RQefTUH4sxazQDVFVWFoWcYN6QKHws18/fCR4PQqk9YSVvF1SJ+dEmKMollgju8bH7ACSA2+a9tG72LKZkfGCoqhq9rXx2fq6gTQPw+h5DnI4FNuzu7pKfvowor6jInSBgkpuusaSNTBoNsW71c2YagzOI+KHc+Je4y5Je29FDVNdsMzlUZppepALXv45+ezw36GTaWloaO8xc3SEkJMQeEu30xbiHu11/SI6Mj52v9q5XKl1WEe78gNrAjO38YLmQKNW02my8N4l1+/Lvn3RPNt+Y0lprZDJ70deGtzU8/cebQ1XV1TosENUE3koCnoI1SMmPizU45xkHS3e5Xi7flfJI6nU4FecGTIyAlAQDYTCQi2jBA1jGM2FDzOcc3v6ynyfBEMPcoku1S24AGZ/Ubgwazji/E8HUuLPjEXf9q9pciHBjokxH1/h5aoVudgkQ7AjLqjIuQnNlZmSos8p4khmESuXVy3UTtnrNy2BWc2W8WJ6N62hrz0CT0M2Vle8mJiaYQFCtq5vxnJycmbyTOxCy5HcgXeiElfTFsWkORTu9yC6dUKj3Jxwabn2KAJCDD56Gcot14PYfmZqajufnzCcG4c72PMffEEXvPCB4XX0cEhKyewcCoLE4dRnJG5h6ca2ILV6ssW2TEVYf6xRWMambnBq2NjN7+vDhw2g/cj5B0fgVTJNER7GVZOnFAKCU3jxck3imuC1oDwpYAcy2vRLFXWWY2z0fYXcDfe64FEyHXFCpADUPo9ik8hgtYWobGPUs2zJf9nHK/zULAtEK/XyKZR5TGJE72/x8m1e7sTSyenugy3Hn4E/97rzAX0pKylkeUkjisnX7mZ+NcYvRHVYiWVAzgfITg9foUXdIziF7ZJdmLOHnJKngUeUtqUfenBOHyyud/MfPbx2B84z7+D8ecPhbPxz2FGWmoHRhiSJJi5P9kVukVOSDUvLHJDrbu6yPhhAs66+PLrO619TNazoGLi4utje6jgoMZ0vSWf0qNHZ1TVm/yD3y6CVVil0cX1ra738r55I37T3ip5T420Pa9ajdNbrbDbvOq84FDq0kHitsvbxrEP24VJDYgedSURpENyg160Bpr+jIvNI9yFm3Vr9BXE07RRaZvsZp6ObsqNZNadPkUk/hyPZjBvmMjcgYiKjOutnqbckioXDOefaFmBHlOSuBqYedP/70lhaQ5oPNvtBv8pEMrQbcNfNooVlVigszbLpxoqKTV+/gXlWXoereKvVk2yhNUYLWN01NmZj3oSVhDmvcXClxAfRpBX2aC6h6M/x3+5H5F5/by4FcqqK54JJB+EdfmlPqrpUwA8Ba0AOGBwlwCRRDxCign9UH9T3AVxKZZ0TE4t/0E7sH6GONlJwWNGsEHL0/v75W3ba5n31dfOyQhvKviLuND2uQg/bzAmM2IspHS8jm5tBSaHz042wb4QoHSpXv6gJ2cDBFyfF0rfXu393Zr/zAMeEYUYxHfCOAJCC0+pHI0hc/oIMEqtrGtfFUlYzOL1781f47OjEnHKlKC+ji4sixTK5/SLSzho7Ush5K/Oxzoj/PnHhjOMeP+4x/uqIJm1stAEzm9akx3vR531eY5vfmkfwRfBiP7IcEuzxkAH4WH3lDuSW1eHGxlf2mpZorXqmogi8W/f3978oI1T0fURHkjj84e36lPFpIKk5Cke9XnxcjkpWqIlVQFGtFFFqz2/LynT42zeL+lwaFv14/f0mUIgnIYBTzhKiXhA80vzdbEFM8QX6kf0LD+5SGoM4idfVHmlEGCoM2i5HbhA4U0TBS+sQyK4r+XJlGeGVUbPYJshmAiVIa17IlvpJmBFymfgJxpcPp4U5otRVi56iip4en4Z2eNJqJyKUG2Y6/ihmnUPRcG20j/+rCLiuYfoRgv/1kDo7m7b3Gj4eVvT8qiPOvD6Z5KsMI3xrux0C/w3lz4W9QYhk2wprKt3DIdTvtMPWr72qzfcBgbr+6nsLD+Ge8VMO41WI5fFKDkpHqLU8vwH95cAOqihjYgB4td80w/fvCElVgzdtDSnXEMZCo3Kt+S7/MXWYjjCR8Mz5GumlkJHoZN0mgn6A5dC33d5T3Kdb1cXqx/fKkgHtTAr2j3YJxfYu5x/m+77pCdu/4SQlo3OmESo7nPfP2LK5BgmUfy3Qu/Nru/PXp8ZL/Flg+V9YKxoTbAvfUBHlJJJVuzaIQ3tLihv4HlqfHVSAJ9UtMjXAom4QJ63QdKGra1OYnFUytbK613ge53Y5Rp4egojQT31D2wZ7/fRd4u98c1XKsxgmYMLLQTBkc4h9biQhTBSrIIxDdhUilIcSmayPuXrgKtZ9/lbSCwmqhQCIdhCz0Qd4N47wX4GpDkbkAHFh2il1slEIY6JXdpZVGiIimsKe8cerFuG6P6DEzr462nLqT68UU8wh+EqFMXdd46/79nsFkAjrKsQuLaDJ/wRopXLqUfOR22tVD5YEKyLSKlP+Yuo59UWRYHv+dQTM1re6BhwVSP6HjZEWVJKc8iTV7WDzh/cnDh7oTUuEXzx+TUpgC/XaxNCIRYakUrwKNDPxpF/8daJ39+1fr6LGHHXNqOqtQtJwK2SKJ6NzEH7q+GkyYBabyrMmFcgjc+UEiPxrQ4zT7fJAKUsb75HRLGWS45Lp4hwnv5aiBf9MgpoLQoaja1n6o4I1vg7Hj94YDIpazdkIDD/hXryMvtkhPh8xbA9oFFDj7jA7EMogA0RvLX8Oyrg8vIV54XA95lxjBxoLyBFaZuUpq5nfPVNXg55OZ8fOitLp9jmfPo67Cey7mTnQnbIQWHpdy91wWIAh+VKtwFuDkTE1+NLP4t/koYxf3c7egvkh5gARJIidJYomibXnXisYidUUPeEPLgBGfJWlZW/swIjV6s/vs708MEzNbUSH1hhi5vy/uLbl4cuQRWF9aNahWGzGQf/uL+10GfJP251vME49lvwr8VWO5q5B3UhhVIGhs7HZAKfra/eLVVeLoCwZRqopgiFvVe4+YrWVTYz2IiPMzvTGkNoI8GKkjrRonFUk7UDSP3JrwcblOjrzRpoxo2AcvKoV98C6QV2vavIFu5fh0Fu9I2n+VTEY0fK48WyDfblCGxnPL1FFtJqfWFd8S16fpSauywLUR8cEpTr2FjJ8ztaRXzwVonKMiW8Ozk1/fOaBcjjoIXY4ca1uU9bZycWGIuA65N5w9qdlph7eelCMxqYiua1Y5KkhEYRUpInZZ7YezvxaW67Ya3IuyGVrqtDhac6KHOLl9xAemVfVppTgmLqC+vcx7FTFvSi5OSAZlOB/5mEOgpkMjogp22Uy/X+hIQiMlBHMjB3OTg/WKxrwug6npEJ7S5RQ0eKfyTlQwmLSKrTLg0z0QPn/noXrSkyTtiOpjsEg7hQgMlv/B6Y/2LPCHz1KsVLLqGjoQNqVUVXYatp18yqzHnCjTpCS9TzrpWS0+Ww4E8wN8n6DnFhqykwPvlc7+WkevDN7LeKYaBtyUxhidjKlpdB1OPtduy2VArs3oZhhv3qrWCp2QlrAZl1bwW8ZMxvgDxFnRefdkYXqBfMfkwE201stCp/ZJra/r2OwsEwJVSaDGui0uMbH48gSD3JR0F2/3+MaNR7RVZ4U6lycT/+IVcAyvPoaS0EiyJs97IuV9iKE2Jcx9wWvoDH6KJFnjN0pWVp+3+84Y0s61B05FzPJkCX4Mxq3LzB9/2/RVSD7q15FjpMTpVm9AVw3v4whZNZp3qf3CTfzqIfhbCM6G8CsZPuDnr8jFDIdpKwQ9cml6kf8fUz0TCjkZlu0xDttBVz3/VlMuLD8V8M7FdLiEtpbfzXVIf268MXYn7E9fs1LYlJ4QwlxzC8p5o+VMKfMBYzSAJrhpaLUQ4EW8h/MucWeHwF5kDKPXzjXvMw6NIviWr69E9kQW/2gte4/BwY7n+895P3+4IypA4c2nqnbbqLecQ5tvbm1xJ6fLOhgUsWAuHS+1G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== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

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== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

----
----
<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Prozentrechnung (1.5.)

2014-08-27T08:28:33Z

62.47.209.23: Die Seite wurde neu angelegt: „ == Matura-Aufgaben == * <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span> [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/downlo…“

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für a) und b) [[Lineare Funktionen]]

Rechnen mit Termen(2.1.)

2014-08-27T08:21:57Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

{{Vorlage:Definition|1=Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, mathematische Verknüpfungen (wie +,$\cdot $ ) und Klammern beinhalten kann. }}

'''Beispiele'''
# 5+x
# $(a+b)^2 $

== Grundrechnungen ==

=== Addition und Subtraktion ===

=== Multiplikation und Divisision ===

=== Doppelbrüche ===

=== Kla-Po-Pu-Strich-Regel

== Vereinfachungen ==

=== Kürzen ===

=== Herausheben ===

=== Binomische Formeln ===

== Matura-Aufgaben==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne] (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=95&file=Elektrischer_Widerstand_eines_Drahtes.pdf Elektrischer Widerstand] (Bifie-Aufgabe: leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (Bifie-Aufgabe: leicht)

== siehe auch ==
* [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)]]
* [[Formeln]]

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

Formeln

2014-08-27T08:07:19Z

62.47.209.23: /* Abhängigkeiten von Formeln interpretieren */

Funktionen

2014-08-27T08:06:48Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

Rechnen mit Termen(2.1.)

2014-08-27T08:03:38Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

{{Vorlage:Definition|1=Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, mathematische Verknüpfungen (wie +,$\cdot $ ) und Klammern beinhalten kann. }}

'''Beispiele'''
# 5+x
# $(a+b)^2 $

== Grundrechnungen ==

=== Addition und Subtraktion ===

=== Multiplikation und Divisision ===

=== Doppelbrüche ===

=== Kla-Po-Pu-Strich-Regel

== Vereinfachungen ==

=== Kürzen ===

=== Herausheben ===

=== Binomische Formeln ===

== Matura-Aufgaben==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne] (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=95&file=Elektrischer_Widerstand_eines_Drahtes.pdf Elektrischer Widerstand] (Bifie-Aufgabe: leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]].

== siehe auch ==
* [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)]]
* [[Formeln]]

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

Funktionen

2014-08-27T08:03:09Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

Wichtige Funktiontypen:
* [[Lineare Funktionen]]
* [[Quadratische Funktionen]]
* [[Kubische Funktionen]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]]
* [[Direkte und indirekte Proportion]]

== Übungen ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung, in der du lernst [http://www.geogebratube.org/student/m82256 Funktionsgleichung anhand gegebener Punkte berechnen]
: Hierfür musst du [[Gleichungssysteme (2.7.) | Gleichungssysteme]] lösen.

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Aufgabe von echteinfach.tv, in der du [http://www.echteinfach.tv/mathe-spiele/funktionen-quiz Funktionsgleichungen den jeweiligen Graphen zuordnest]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke] (bifie-Aufgabe)

== Matura-Aufgaben==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne] (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Rechnen mit Termen (2.1.)|Rechnen mit Termen]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=95&file=Elektrischer_Widerstand_eines_Drahtes.pdf Elektrischer Widerstand] (Bifie-Aufgabe: leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Rechnen mit Termen (2.1.)|Rechnen mit Termen]].

Funktionen

2014-08-27T08:01:04Z

62.47.209.23: /* Übungen */

Rechnen mit Termen(2.1.)

2014-08-27T08:00:12Z

62.47.209.23:

Kurvendiskussionen

2014-08-27T07:54:17Z

62.47.209.23: /* Maturabeispiele */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8?t=27s}}
|}

'''Wichtig!''': Die folgenden Punkte gehören ebenfalls zum Thema Kurvendiskussionen, werden aber auf anderen Seiten behandelt:
* [[Steigung und Steigungswinkel]]

<br>
<br>
<br>

== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

<br>
<br>
<br>
== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

{{:Extremstellen}}

<br>
<br>
<br>

== Wendepunkt und Wendetangente ==
{{:Wendepunkt und Wendetangente}}

<br>
<br>
<br>

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
|
{{#ev:youtube|x6PCkKP3PT4?t=3s}}

|
{{#ev:youtube|tmrpkUuQgj4}}
|}

== Online-Musterbeispiele und -Übungen ==

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/musterkd.htm Musterbeispiel von Jutta Gut]
* [http://matheguru.com/analysis/192-beispiel-einer-kurvendiskussion.html Musterbeispiel von "Matheguru"]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://www.geogebratube.org/student/m84598 Online-Übung zu Kurvendisskussionen (GeoGebra)] <span style="background-color:yellow"> WICHTIG </span>

== Maturabeispiele ==

# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=16&file=Steinschleuder.pdf Steinschleuder] (Bifie-Aufgabe: mittel)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | Differentialquotient]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=144&file=Zylindrische_Gefaesse.pdf Zylindrisches Gefäß] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=143&file=Gelaendewagen.pdf Geländewagen] (Bifie-Aufgabe: schwer-mittel-schwer)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=74&file=Hefepilze.pdf Hefepilz] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=70&file=Strassenbahn.pdf Straßenbahn] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=39&file=Simulation_eines_Golfballflugs.pdf Simulation eines Golfballflugs] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel-schwer)
#: Hier brauchst du auch Wissen über [[Steigung und Steigungswinkel]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Schispringen] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] und [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=126&file=Kugelstossen.pdf Kugelstoßen] (leicht-mittel-mittel)
#: siehe hier auch das Thema [[Steigung und Steigungswinkel]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
#: Hier brauchst du auch Wissen über [[Integration]] (Aufgabe a) sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]] (Aufgabe d)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
#: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie: Differenzieren]]
[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]

Wendepunkt und Wendetangente

2014-08-27T07:43:45Z

62.47.209.23: /* Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt */

[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{{Vorlage:Definition|1=$ $
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die [[Tangente]] durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''. }}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{{Vorlage:Merke|1=Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$}}

<br>
<br>

=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Wendepunkt''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll

Zuerst bestimmen wir die zweite Ableitung $f''(x)$ und die dritte Ableitung $f'''(x)$:
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f''(x)=2x-8$$
$$f'''(x)=2$$

Nun setzen wir '''die zweite Ableitung''' 0:

$$f''(x)=2x-8$$
$$0=2x-8$$
$$x=4$$

Somit ist die Stelle $x=4$ ein '''möglicher''' Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den x-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:

[[Datei:Wendepunkt-1.png|thumb|right|300px|Graph mit Wendepunkt]]

$$f'''(x)=2$$
Da die dritte Ableitung konstant 2 ist (d.h. für '''alle''' x den Wert 2 hat), gilt insbesondere
$$f'''(4)=2\ne 0$$
Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.

Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir '''in die ursprüngliche Funktion $f(x)'''$ ein, und erhalten:
$$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$

Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $W(4|15.33)$.

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Wendetangente''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$\rightarrow$ Siehe hier auch: [[Bestimmen der Tangente]]

Um die Wendetangente $t_W: y=k\cdot x+d$ zu berechnen, brauchen wir zwei Sachen:
# den Wendepunkt (diesen haben wir schon zuvor berechnet: $W(4|15.33)$)
# die Steigung der Wendetangente. Diese berechnen wir jetzt:

Die Steigung $k$ der Wendetangente ist ident mit der Steigung der Funktion am Wendepunkt. Somit müssen wir die Steigung von $f(x)$ beim Wendepunkt $W(4|15.33)$ berechnen und dies macht man '''immer mit der 1. Ableitung $f'(x)$''':

$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f'(4)=4^2-8\cdot 4+79$$
$$f'(4)=-9$$

Somit ist $k=-9$

[[Datei:Wendetangente.png|thumb|right|250px|Graph mit Wendepunkt und Wendetangente]]
Um das $d$ zu berechnen, setzen wir nun $k=-9$ und die Koordinaten des Wendepunktes $W(\underbrace{4}_{x}|\underbrace{15.33}_{y})$ in die $y=kx+d$-Darstellung und erhalten:
$$y=kx+d$$
$$15.33=-9\cdot 4+d$$
$$d=51.33$$

Somit lautet die Gleichung der Wendetangente:
$$\underline{\underline{t_W: \ y=-9\cdot x+51.33}}$$

</div>

</div>

</div>
</div>

{{Vorlage:Merke|1= '''Maximale oder minimale Steigung'''

Am Wendepunkt befindet sich '''ein lokales Extremum der Steigung $f'(x)$'''. Das bedeutet, dass am Wendepunkt sich entweder

a) ein lokales Maximum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am steilsten''') oder

b) ein lokales Minimum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am flachsten''')

befindet

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Begründung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Am Wendepunkt gilt für die erste Ableitung von $f'$: $$(f'(x))'=f''(x)=0)$$ und für die zweite Ableitung von $f'$:
$$(f'(x))''=f'''(x)\neq 0$$ Somit hat $f'$ hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.

</div>

</div>
}}

[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]
[[Kategorie: Differenzieren]]

Wendepunkt und Wendetangente

2014-08-27T07:42:29Z

62.47.209.23: /* Musterbeispiel */

[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{{Vorlage:Definition|1=$ $
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die [[Tangente]] durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''. }}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{{Vorlage:Merke|1=Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$}}

<br>
<br>
=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Wendepunkt''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll

Zuerst bestimmen wir die zweite Ableitung $f''(x)$ und die dritte Ableitung $f'''(x)$:
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f''(x)=2x-8$$
$$f'''(x)=2$$

Nun setzen wir '''die zweite Ableitung''' 0:

$$f''(x)=2x-8$$
$$0=2x-8$$
$$x=4$$

Somit ist die Stelle $x=4$ ein '''möglicher''' Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den x-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:

[[Datei:Wendepunkt-1.png|thumb|right|300px|Graph mit Wendepunkt]]

$$f'''(x)=2$$
Da die dritte Ableitung konstant 2 ist (d.h. für '''alle''' x den Wert 2 hat), gilt insbesondere
$$f'''(4)=2\ne 0$$
Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.

Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir '''in die ursprüngliche Funktion $f(x)'''$ ein, und erhalten:
$$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$

Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $W(4|15.33)$.

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Wendetangente''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$\rightarrow$ Siehe hier auch: [[Bestimmen der Tangente]]

Um die Wendetangente $t_W: y=k\cdot x+d$ zu berechnen, brauchen wir zwei Sachen:
# den Wendepunkt (diesen haben wir schon zuvor berechnet: $W(4|15.33)$)
# die Steigung der Wendetangente. Diese berechnen wir jetzt:

Die Steigung $k$ der Wendetangente ist ident mit der Steigung der Funktion am Wendepunkt. Somit müssen wir die Steigung von $f(x)$ beim Wendepunkt $W(4|15.33)$ berechnen und dies macht man '''immer mit der 1. Ableitung $f'(x)$''':

$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f'(4)=4^2-8\cdot 4+79$$
$$f'(4)=-9$$

Somit ist $k=-9$

[[Datei:Wendetangente.png|thumb|right|250px|Graph mit Wendepunkt und Wendetangente]]
Um das $d$ zu berechnen, setzen wir nun $k=-9$ und die Koordinaten des Wendepunktes $W(\underbrace{4}_{x}|\underbrace{15.33}_{y})$ in die $y=kx+d$-Darstellung und erhalten:
$$y=kx+d$$
$$15.33=-9\cdot 4+d$$
$$d=51.33$$

Somit lautet die Gleichung der Wendetangente:
$$\underline{\underline{t_W: \ y=-9\cdot x+51.33}}$$

</div>

</div>

</div>
</div>

{{Vorlage:Merke|1= '''Maximale oder minimale Steigung'''

Am Wendepunkt befindet sich '''ein lokales Extremum der Steigung $f'(x)$'''. Das bedeutet, dass am Wendepunkt sich entweder

a) ein lokales Maximum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am steilsten''') oder

b) ein lokales Minimum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am flachsten''')

befindet

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Begründung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Am Wendepunkt gilt für die erste Ableitung von $f'$: $$(f'(x))'=f''(x)=0)$$ und für die zweite Ableitung von $f'$:
$$(f'(x))''=f'''(x)\neq 0$$ Somit hat $f'$ hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.

</div>

</div>
}}

[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]
[[Kategorie: Differenzieren]]

Wendepunkt und Wendetangente

2014-08-27T07:40:58Z

62.47.209.23: /* Musterbeispiel */

[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{{Vorlage:Definition|1=$ $
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die [[Tangente]] durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''. }}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{{Vorlage:Merke|1=Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$}}

<br>
<br>
=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Wendepunkt''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll

Zuerst bestimmen wir die zweite Ableitung $f''(x)$ und die dritte Ableitung $f'''(x)$:
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f''(x)=2x-8$$
$$f'''(x)=2$$

Nun setzen wir '''die zweite Ableitung''' 0:

$$f''(x)=2x-8$$
$$0=2x-8$$
$$x=4$$

Somit ist die Stelle $x=4$ ein '''möglicher''' Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den x-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:

[[Datei:Wendepunkt-1.png|thumb|right|300px|Graph mit Wendepunkt]]

$$f'''(x)=2$$
Da die dritte Ableitung konstant 2 ist (d.h. für '''alle''' x den Wert 2 hat), gilt insbesondere
$$f'''(4)=2\ne 0$$
Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.

Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir '''in die ursprüngliche Funktion $f(x)'''$ ein, und erhalten:
$$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$

Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $W(4|15.33)$.

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Wendetangente''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$\rightarrow$ Siehe hier auch: [[Bestimmen der Tangente]]

Um die Wendetangente $t_W: y=k\cdot x+d$ zu berechnen, brauchen wir zwei Sachen:
# den Wendepunkt (diesen haben wir schon zuvor berechnet: $W(4|15.33)$)
# die Steigung der Wendetangente. Diese berechnen wir jetzt:

Die Steigung $k$ der Wendetangente ist ident mit der Steigung der Funktion am Wendepunkt. Somit müssen wir die Steigung von $f(x)$ beim Wendepunkt $W(4|15.33)$ berechnen und dies macht man '''immer mit der 1. Ableitung $f'(x)$''':

$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f'(4)=4^2-8\cdot 4+79$$
$$f'(4)=-9$$

Somit ist $k=-9$

[[Datei:Wendetangente.png|thumb|right|250px|Graph mit Wendepunkt und Wendetangente]]
Um das $d$ zu berechnen, setzen wir nun $k=-9$ und die Koordinaten des Wendepunktes $W(\underbrace{4}_{x}|\underbrace{15.33}_{y})$ in die $y=kx+d$-Darstellung und erhalten:
$$y=kx+d$$
$$15.33=-9\cdot 4+d$$
$$d=51.33$$

Somit lautet die Gleichung der Wendetangente:
$$\underline{\underline{t_W: \ y=-9\cdot x+51.33}}$$

</div>

</div>

</div>
</div>

{{Vorlage:Merke|1= '''Maximale oder minimale Steigung'''

Am Wendepunkt befindet sich '''ein lokales Extremum der Steigung $f'(x)$'''. Das bedeutet, dass am Wendepunkt sich entweder

a) ein lokales Maximum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am steilsten''') oder

b) ein lokales Minimum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am flachsten''')

befindet

'''Begründung:'''

Am Wendepunkt gilt für die erste Ableitung von $f'$: $$(f'(x))'=f''(x)=0)$$ und für die zweite Ableitung von $f'$:
$$(f'(x))''=f'''(x)\neq 0$$ Somit hat $f'$ hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.

}}

[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]
[[Kategorie: Differenzieren]]

Umkehraufgaben

2014-08-27T07:39:41Z

62.47.209.23: /* Beispiele */

== Theorie ==

{| border="1" cellpadding="5"
!| Formulierungen im Text
!| mathematische Übersetzung
|-
| Der Punkt $P(a\vert b)$ liegt auf dem Graphen der Funktion.

Der Graph der Funktion $f$ verläuft durch $P(a\vert b)$.
| $$f(a)=b$$
|-
| Die Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle $x=a$.

Die Nullstelle der Funktion $f$ befindt sic bei $N(a|0)$.
| $$f(a)=0$$
|-
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ ein Extremum.
| $$f'(a)=0$$
|-
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ einen Wendepunkt.
| $$f''(a)=0$$
|-
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ die [[Steigung und Steigungswinkel | Steigung]] k.

Die Funktion $f$ ist an der Stelle $x=a$ parallel zur Geraden $g: y=k\cdot x+d$
| $$f'(a)=k$$
|-
| Die Funktion $f$ berührt an der Stelle $x=a$ die Gerade $y=k\cdot x+d$
| $$f'(a)=k$$
und
$$f(a)=k\cdot a+d$$

|}
(vgl. Tinhof (u.a.): Mathematik III HLW/...., Trauner, 2012, S. 94)

hier würde sich ein Quiz noch gut anbieten!

== Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
*: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Integration]] (Aufgabe a)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Quadratische Funktionen]] und [[Bestimmen der Tangentengleichung]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Schispringen] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Quadratische Funktionen]] und [[Bestimmen der Tangentengleichung]]

[[Kategorie:Differenzieren]]

Wendepunkt und Wendetangente

2014-08-27T07:39:05Z

62.47.209.23: /* Musterbeispiel */

[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{{Vorlage:Definition|1=$ $
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die [[Tangente]] durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''. }}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{{Vorlage:Merke|1=Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$}}

<br>
<br>
=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Wendepunkt''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll

Zuerst bestimmen wir die zweite Ableitung $f''(x)$ und die dritte Ableitung $f'''(x)$:
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f''(x)=2x-8$$
$$f'''(x)=2$$

Nun setzen wir '''die zweite Ableitung''' 0:

$$f''(x)=2x-8$$
$$0=2x-8$$
$$x=4$$

Somit ist die Stelle $x=4$ ein '''möglicher''' Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den x-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:

[[Datei:Wendepunkt-1.png|thumb|right|300px|Graph mit Wendepunkt]]

$$f'''(x)=2$$
Da die dritte Ableitung konstant 2 ist (d.h. für '''alle''' x den Wert 2 hat), gilt insbesondere
$$f'''(4)=2\ne 0$$
Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.

Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir '''in die ursprüngliche Funktion $f(x)'''$ ein, und erhalten:
$$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$

Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $W(4|15.33)$.

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Wendetangente''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Um die Wendetangente $t_W: y=k\cdot x+d$ zu berechnen, brauchen wir zwei Sachen:
# den Wendepunkt (diesen haben wir schon zuvor berechnet: $W(4|15.33)$)
# die Steigung der Wendetangente. Diese berechnen wir jetzt:

Die Steigung $k$ der Wendetangente ist ident mit der Steigung der Funktion am Wendepunkt. Somit müssen wir die Steigung von $f(x)$ beim Wendepunkt $W(4|15.33)$ berechnen und dies macht man '''immer mit der 1. Ableitung $f'(x)$''':

$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f'(4)=4^2-8\cdot 4+79$$
$$f'(4)=-9$$

Somit ist $k=-9$

[[Datei:Wendetangente.png|thumb|right|250px|Graph mit Wendepunkt und Wendetangente]]
Um das $d$ zu berechnen, setzen wir nun $k=-9$ und die Koordinaten des Wendepunktes $W(\underbrace{4}_{x}|\underbrace{15.33}_{y})$ in die $y=kx+d$-Darstellung und erhalten:
$$y=kx+d$$
$$15.33=-9\cdot 4+d$$
$$d=51.33$$

Somit lautet die Gleichung der Wendetangente:
$$\underline{\underline{t_W: \ y=-9\cdot x+51.33}}$$

</div>

</div>

</div>
</div>

{{Vorlage:Merke|1= '''Maximale oder minimale Steigung'''

Am Wendepunkt befindet sich '''ein lokales Extremum der Steigung $f'(x)$'''. Das bedeutet, dass am Wendepunkt sich entweder

a) ein lokales Maximum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am steilsten''') oder

b) ein lokales Minimum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am flachsten''')

befindet

'''Begründung:'''

Am Wendepunkt gilt für die erste Ableitung von $f'$: $$(f'(x))'=f''(x)=0)$$ und für die zweite Ableitung von $f'$:
$$(f'(x))''=f'''(x)\neq 0$$ Somit hat $f'$ hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.

}}

[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]
[[Kategorie: Differenzieren]]

Wendepunkt und Wendetangente

2014-08-27T07:34:40Z

62.47.209.23: /* Musterbeispiel */

[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{{Vorlage:Definition|1=$ $
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die [[Tangente]] durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''. }}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{{Vorlage:Merke|1=Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$}}

<br>
<br>
=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Wendepunkt''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll

Zuerst bestimmen wir die zweite Ableitung $f''(x)$ und die dritte Ableitung $f'''(x)$:
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f''(x)=2x-8$$
$$f'''(x)=2$$

Nun setzen wir '''die zweite Ableitung''' 0:

$$f''(x)=2x-8$$
$$0=2x-8$$
$$x=4$$

Somit ist die Stelle $x=4$ ein '''möglicher''' Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den x-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:

[[Datei:Wendepunkt-1.png|thumb|right|300px|Graph mit Wendepunkt]]

$$f'''(x)=2$$
Da die dritte Ableitung konstant 2 ist (d.h. für '''alle''' x den Wert 2 hat), gilt insbesondere
$$f'''(4)=2\ne 0$$
Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.

Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir '''in die ursprüngliche Funktion $f(x)'''$ ein, und erhalten:
$$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$

Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $W(4|15.33)$.

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Wendetangente''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Um die Wendetangente $t_W: y=k\cdot x+d$ zu berechnen, brauchen wir zwei Sachen:
# den Wendepunkt (diesen haben wir schon zuvor berechnet: $W(4|15.33)$)
# die Steigung der Wendetangente. Diese berechnen wir jetzt:

Die Steigung $k$ der Wendetangente ist ident mit der Steigung der Funktion am Wendepunkt. Somit müssen wir die Steigung von $f(x)$ beim Wendepunkt $W(4|15.33)$ berechnen und dies macht man '''immer mit der 1. Ableitung $f'(x)$''':

$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f'(4)=4^2-8\cdot 4+79$$
$$f'(4)=-9$$

Somit ist $k=-9$

[[Datei:Wendetangente.png|thumb|right|250px|Graph mit Wendepunkt und Wendetangente]]
Um das $d$ zu berechnen, setzen wir nun $k=-9$ und die Koordinaten des Wendepunktes $W(\underbrace{4}_{x}|\underbrace{15.33}_{y})$ in die $y=kx+d$-Darstellung und erhalten:
$$y=kx+d$$
$$15.33=-9\cdot 4+d$$
$$d=51.33$$

Somit lautet die Gleichung der Wendetangente:
$$\underline{\underline{t_W: \ y=-9\cdot x+51.33}}$$

</div>

</div>

</div>
</div>

{{Vorlage:Merke|1= '''Maximale oder minimale Steigung'''

Am Wendepunkt befindet sich ein Extremum der Steigung $f'(x)$ $($weil $(f'(x))'=f''(x)=0)$. Das bedeutet, dass am Wendepunkt sich entweder

a) ein lokales Maximum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am steilsten''') oder

b) ein lokales Minimum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am flachsten''')

befindet
}}

[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]
[[Kategorie: Differenzieren]]

Wendepunkt und Wendetangente

2014-08-27T07:32:34Z

62.47.209.23: /* Musterbeispiel */

[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{{Vorlage:Definition|1=$ $
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die [[Tangente]] durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''. }}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{{Vorlage:Merke|1=Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$}}

<br>
<br>
=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Wendepunkt''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll

Zuerst bestimmen wir die zweite Ableitung $f''(x)$ und die dritte Ableitung $f'''(x)$:
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f''(x)=2x-8$$
$$f'''(x)=2$$

Nun setzen wir '''die zweite Ableitung''' 0:

$$f''(x)=2x-8$$
$$0=2x-8$$
$$x=4$$

Somit ist die Stelle $x=4$ ein '''möglicher''' Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den x-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:

[[Datei:Wendepunkt-1.png|thumb|right|300px|Graph mit Wendepunkt]]

$$f'''(x)=2$$
Da die dritte Ableitung konstant 2 ist (d.h. für '''alle''' x den Wert 2 hat), gilt insbesondere
$$f'''(4)=2\ne 0$$
Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.

Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir '''in die ursprüngliche Funktion $f(x)'''$ ein, und erhalten:
$$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$

Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $W(4|15.33)$.

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Wendetangente''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Um die Wendetangente $t_W: y=k\cdot x+d$ zu berechnen, brauchen wir zwei Sachen:
# den Wendepunkt (diesen haben wir schon zuvor berechnet: $W(4|15.33)$)
# die Steigung der Wendetangente. Diese berechnen wir jetzt:

Die Steigung $k$ der Wendetangente ist ident mit der Steigung der Funktion am Wendepunkt. Somit müssen wir die Steigung von $f(x)$ beim Wendepunkt $W(4|15.33)$ berechnen und dies macht man '''immer mit der 1. Ableitung $f'(x)$''':

$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f'(4)=4^2-8\cdot 4+79$$
$$f'(4)=-9$$

Somit ist $k=-9$

[[Datei:Wendetangente.png|thumb|right|250px|Graph mit Wendepunkt und Wendetangente]]
Um das $d$ zu berechnen, setzen wir nun $k=-9$ und die Koordinaten des Wendepunktes $W(\underbrace{4}_{x}|\underbrace{15.33}_{y})$ in die $y=kx+d$-Darstellung und erhalten:
$$y=kx+d$$
$$15.33=-9\cdot 4+d$$
$$d=51.33$$

Somit lautet die Gleichung der Wendetangente:
$$\underline{\underline{t_W: \ y=-9\cdot x+51.33}}$$

</div>

</div>

</div>
</div>

{{Vorlage:Merke|1= '''Maximale oder minimale Steigung'''

Am Wendepunkt befindet sich ein Extremum der Steigung f'(x). Das heißt am Wendepunkt befindet sich entweder
a) ein lokales Maximum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am steilsten''') oder
b) ein lokales Minimum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am flachsten''')
}}

[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]
[[Kategorie: Differenzieren]]

Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung

2014-08-27T07:25:39Z

62.47.209.23: /* bereits ab der 1. und 2. Klasse machbar */

Trigonometrie (2.12 und 3.10)

2014-08-27T07:25:15Z

62.47.209.23: /* Matura-Aufgaben */

In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)

Die folgende Seite ist in 5 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
# [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck]]: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen.
# [[#Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis | Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis]]: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
# [[#Trigonometrische Funktionen | Trigonometrische Funktionen]]: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und Tangensfunktion kennen.
# [[#Das allgemeine Dreieck | Das allgemeine Dreieck]], indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, zu rechnen.
# [[#Vermessungsaufgaben | Vermessungsaufgaben]], in denen du das Gelernte in Anwendungsbeispielen verwenden kannst.

Die letzten beiden Kapitel bestehen aus einer [[#Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck | Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln]] und [[#Matura-Aufgaben | Matura-Aufgaben]]

== Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck ==

=== Begriffe ===
[[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|350px|rechtwinkliges Dreieck]]

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (= Dreieck mit einem 90°-Winkel).

* Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt '''Hypotenuse'''. Sie ist '''IMMER gegenüber vom dem rechten Winkel'''.
* Die beiden kürzere Seiten heißen '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
: * die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
: * die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
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=== Sinus, Cosinus und Tangens ===

{| border ="1"

| <span style="color:#00AD00"> '''Definition''' </span>
[[Datei:Grün rufezeichen.png|center]]

|
{|
|
* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
|

$\ \ \ \mathbf{sin\ \alpha = \frac{GK}{H}}$
|-
|

* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
|

$\ \ \ \mathbf{cos\ \alpha = \frac{AK}{H}}$
|-
|

* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK

|

$\ \ \ \mathbf{tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}}$
|}

|}

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]
Das Besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
:[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].

{|
|-
| <span style="background-color:#00FFFF"> '''Wichtig:''' </span> Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
|}

<br>
<br>
<br>

=== Steigung und Steigungswinkel ===
[[Datei:Steigung11.png|thumb|right|450px|Steigung und Steigungswinkel]]
Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
Somit erhalten wir die Formel:

{| style="color:red;" cellpadding="10" border="1" align="center"
| $$k=\tan \alpha$$
|}

Mit dieser Formel kann nun einfach zwischen der (prozentuellen) Steigung und dem Steigungswinkel gewechselt werden:
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<br>
<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.

- Bestimmen Sie
* a) den Steigungswinkel
* b) die prozentuelle Steigung

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]

$\alpha = 8.05°$

b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
$$k=\ tan\ \alpha$$
$$k=\tan \ 8.05°$$
$$k=0.14=14 \ \%$$
A: Die Steigung beträgt 14 %.

</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Übungen im Rechtwinkligen Dreieck ===

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.mathe-online.at/tests/wfun/defWfun.html Online-Übung zur Überprüfung, ob die richtige Formel verwendet wurde]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html Weitere Übung zur Überprüfung der Formel]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html Und noch eine Übung dazu]

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/rechtw.htm Rechenbeispiele von Jutta Gut (mit Lösungen)]

* [http://matura.marienberg.at/images/0/04/Aufgaben_zu_den_Themen_rechtw_Dreieck_und_Einheitskreis.pdf Aufgabenblatt mit Textaufgaben samt Lösungen]

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<br>
<br>

== Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis ==
=== Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===

[[Datei:Winkel- und Bogenmaß1.png|thumb|right|500px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]

Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit Radius r=1. Sein Umfang beträgt
$$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$

Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:

'''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''

So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.

* Eine volle Umdrehung hat 360°
* Eine halbe Umdrehung hat 180°

'''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''

Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens r (siehe Skizze) bestimmt werden.

* Bei einer vollen Umdrehung hat r die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises, siehe oben). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
* Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Hier findest du ein
[http://www.geogebratube.org/student/m133394 Arbeitsblatt, das dir den Zusammenhang besser erklärt].

{| border="1"
!|<span style="color:#EE4000"> '''Merke''' </span>
[[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]]
|
{|
| Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
|-
| $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.
|}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.

b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Grad- in Bogenmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$

A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$

b) Bogen- in Gradmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
$$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$

A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===

====Theorie====
Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:

[[Datei:Sinus und Kosinus und Tangens im Einheitskreis1.png|thumb|right|500px|Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis]]

* Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Tangens entspricht der Länge des [[Tangente | Tangentenabschnittes]] der Tangente durch den Punkt (1,0).

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Begründung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''für den Sinus:'''
Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die Länge der $\color{red}{\textrm{roten Strecke}}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete GK.

Zu zeigen ist nun:
$$\sin \ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

'''Beweis:'''
$$\sin\ \alpha=\frac{GK}{H}=\frac{\color{red}{\textrm{rote Strecke}}}{1}=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
Somit gilt:
$$\sin\ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Mit dem folgenden [http://www.geogebratube.org/student/m133494 Arbeitsblatt] kannst du dein Verständnis vertiefen.

<br>
<br>
<br>

====Wichtige Werte====
Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das [http://www.geogebratube.org/student/m133494 obige Arbeitsblatt] sollte dir dabei helfen:

{| border="1" align="center"
|
| Sinus
| Cosinus
| Tangens
|-
| Gradmaß: 90°
Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad
| 1
| 0
| nicht definiert
|-
| 180°
$\pi$ rad
| 0
| -1
| 0
|-
| 270°
$\frac{3\pi}{2}$ rad
| -1
| 0
| nicht definiert
|-
| 0° und 360°
0 rad und $2\pi$ rad
| 0
| 1
| 0
|}

<br>
<br>
<br>

== Trigonometrische Funktionen ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Öffne das folgende [http://www.geogebratube.org/student/m133564 Arbeitsblatt]. Hier findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die unten abgebildten Graphen der Sinus-, Cosius und Tangensfunktion kommt.

=== Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$ ===

Stellt man den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:

[[Datei:Sinusfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

<br>
<br>
<br>

===Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$ ===
Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Cosfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

<br>
<br>
<br>

===Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$ ===
Der Graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Tangensfkt1.png|thumb|center|700px|Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

# Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
# Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die [[Wertemenge]] $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Betrag]] verwendet.)
# Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
# Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Wichtige Werte | Tabelle zum Einheitskreis]] herausgelesen werden.
</div>

</div>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Das allgemeine Dreieck ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> <span style="background-color:yellow"> Zusatz: </span> Dieser eingeklappte Abschnitt ist kein Kernstoff zur Matura. Allerdings helfen dir die hier beschriebenen Formeln, gewisse Beispiele schneller und einfacher zu berechnen. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]

Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.

Ohne rechten Winkel können wir die [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens]] nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:

a) den Sinussatz

b) den Cosinussatz und

c) die allgemeinen Flächenformeln

Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechten Winkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Sinussatz ===
{| align="right"
|{{#ev:youtube|Mvm69Wj8doo}}
|}
Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck

1. eine Seite '''und'''

2. der gegenüberliegende Winkel '''und'''

3. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.

{| style="color:red;" border="1" align="center"
| '''Formel für den Sinussatz'''
|-
| $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$
|}

Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes:

<br>
<br>
<br>

=== Cosinussatz ===

{| style="color:red;" border="1" align="center"
!| Formeln für den Cosinussatz
|-
|
*$ a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\ \alpha$
* $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\ \beta$
* $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\ \gamma$
|}

Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:

: a) 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist '''oder'''

: b) alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will.

{| border="1" align="center"
!| Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.

:: <span style="color:red"> gegebene Größen </span>
:: <span style="color:blue"> berechenbare Größen </span>
|-
|
{| align="center"
| [[Datei:Cosinussatz2.png|thumb|300px|Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden]]
| [[Datei:Cosinussatz1.png|thumb|300px|Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden]]
|}
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/dreiecke.htm Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut (samt Lösungen)]

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

== Vermessungsaufgaben ==
=== Begriffe ===

[[Datei:Höhen- und Tiefenwinkel.gif|right]]

* '''Höhenwinkel'''
Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Höhe".

* '''Tiefenwinkel'''
Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Tiefe".

* '''Sehwinkel'''
Der Sehwinkel ist das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) "einfängt".

<br>
<br>
<br>

=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/verm.htm Beispiele zu den Vermessungsaufgaben von Jutta Gut (samt Lösungen)]

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ==
{| border="1" align="center"
|-
|
| rechtwinkliges Dreieck
| allgemeines Dreieck

|-
| Winkelsumme
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
|-
| Pythagoras
| $H^2=GK^2+AK^2$
| gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
|-
| Flächeninhalt
| $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
| $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
|
| $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
|
| $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
|}

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm.pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=30&file=Schifahren.pdf Schifahren] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
: Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
: Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)
:* siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
: Siehe auch [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
: Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch
: * [[Beschreibende Statistik]]
: * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
: '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung

2014-08-27T07:23:50Z

62.47.209.23: /* bereits ab der 1. und 2. Klasse machbar */

Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung

2014-08-27T07:23:21Z

62.47.209.23: Die Seite wurde neu angelegt: „ == Matura-Aufgaben == === bereits ab der 1. und 2. Klasse machbar === * Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</…“

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-08-27T07:18:47Z

62.47.209.23: /* Durchmischte Beispiele */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Wert k''' wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$

* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N(1)=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(2)+k=(N_0+2k)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

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=== Übungsaufgabe ===
* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe Regentonne]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung Regentonne]
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=218&file=Tauchen.pdf Aufgabe Tauchen]

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== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst pro Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
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=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ (="tau") Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' Berechnung der Verdoppelungszeit bei bekannter Anfangsmenge </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$; $a=(1+\frac{6.5}{100})=1.065 \ \ \rightarrow$ $\underline{\underline{N(t)=100\cdot 1.065^t}}$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' Berechnung der Verdoppelungszeit bei unbekannter Anfangsmenge </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel Prozent sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t \ \ \ |\log ( \ )$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist! Dies kam auch schon im 1. Musterbeispiel vor.
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' Bestimmen des Wachstumsfaktors bei bekannter Verdoppelungszeit </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^{17}$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^{17} \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17} \ \ \ |\sqrt[17]{\ \ \ }$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px|Mehrfache Verdoppelung eines exponentiellen Wachstums]]
|}

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=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

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==Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer '''um den gleichen Faktor verkleinert'''.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
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=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer bestimmten Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann $\lambda$ bestimmt werden:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $$N(t)=1 \textrm{% von }N_0$$ ist. Formulieren wir dies noch "mathemtischer", so erhalten wir: $$N(t)=0.01\cdot N_0$$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formel man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke: $\ \ \ \ \ \ $ ''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|600px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]]
|}

<br>
<br>
<br>
=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

<br>
<br>
<br>
== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=31&file=Schiunfaelle.pdf Schiunfälle] (bifie-Aufgabe: leicht)
:: siehe auch [[Statistische Diagramme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=136&file=Neuronen_in_der_Grosshirnrinde.pdf Neuronen in der Großhirnrinde] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=220&file=PKW-Bestand.pdf PKW-Bestand] (leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=178&file=Alkoholspiegel.pdf Alkoholspiegel] (leicht-leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=218&file=Tauchen.pdf Aufgabe Tauchen] (bifie-Aufgabe)
: Siehe auch: [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Gleichungen aufstellen]] und [[Äquivalenzumformungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)
*: siehe auch [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch
: * [[Beschreibende Statistik]]
: * [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Trigonometrie]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]