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Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen)

2014-02-10T18:49:55Z

62.46.246.117: /* Maturabeispiele */

Das Äquivalenzprinzip ist wichtig, wenn unterschiedliche Einzahlungen verglichen werden müssen, um beispielsweise zu entscheiden, welche Zahlung die bessere ist.

{| border="1"
|-
!|Definition
|Das '''Äqivalenzprinzip der Mathematik besagt:

''"Zahlungen dürfen nur dann verglichen/addiert/subtrahiert werden,
wenn sie zuvor auf denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden."''
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|}
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== Musterbeispiel ==

Für ein Grundstück erhält Elizabeth Reichgut zwei Angebote für ein zum Verkauf stehendes Grundstück:

# Andreas Ohneland (A) bezahlt € 200'000 sofort und € 200'000 nach 3 Jahren.
# Bernhard Grundlos (B) bezahlt € 195'000 nach einem Jahr und € 205'000 nach zwei Jahren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Frage''': Für weches Angebot soll sie sich entscheiden, wenn von einem Zinssatz von $i_{eff}=4$% p.a. ausgangen werden kann? </span>

<div class="mw-collapsible-content">

''' Antwort''': Auf den ersten Blick wirken beide Angebote gleich gut, da beide insgesamt € 400'000 überweisen. Allerdings kommen nicht alle Einzahlungen zum selben Zeitpunkt, weswegen sie auch anders verzinst werden.
[[Datei:Aequivalenzp1.png|thumb|center|320px|In der Abbildung sind die Zahlungen an einem Zahlenstrahl angeordet]]
Laut dem Äquivalenzprinzip müssen wir die Einzahlungen zuerst auf denselben Stichtag auf- oder abzinsen, um sie zu vergleichen. Hier gibt es zwei sinnvolle Möglichkeiten:
* Abzinsen auf den Beginn (Berechnung des Barwertes $B$)
* Aufzinsen auf das 3. Jahr (Berechnung des Endwertes $E$)

Der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Aufzinsungsfaktor | Aufzinungsfaktor r]] beträgt $r=1.04$ (da $i_eff=4$ und $r=1+\frac{i_{eff}}{100}$ )

Zur Verdeutlichung wird an diesem Beispiel sowohl der Barwert, als auch der Endwert berechnet. Selbstverständlich würde es reichen, wenn nur eines von beiden berechnet wird:

{| align="center"
|-
|
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!| Berechnung des Barwerts
!| Berechnung des Endwerts
|-
|
Wir zinsen alle Einzahlungen zum Beginn ab (d.h. dividieren mit dem Abzinsungsfaktor):
[[Datei:Aequivalenzprinzip-barwert.png|thumb|center|300px|Berechnung des Barwertes]]

* Angebot A: $B_A=200000+\frac{200000}{r^3}=377'799,27$
* Angebot B: $B_B=\frac{195000}{r}+\frac{205000}{r^2}=377'034,02$

'''Antwort''' Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).

|
Wir zinsen alle Einzahlungen zum Ende auf (d.h. multiplizieren mit dem Aufzinsungsfaktor):
[[Datei:Aequivalenzprinzip-endwert.png|thumb|center|320px|Berechnung des Endwertes]]

* Angebot A: $E_A=200000\cdot r^3+200000=424'972,80 $
* Angebot B: $E_B=195000\cdot r^2+205000\cdot r=424'112,00 $

'''Antwort''' Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).
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!|In beiden Fällen (sowohl beim Barwert, als auch beim Endwert) ist das Angebot A besser!
|}

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</div>

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!| Merke
| Beim Äquivalenzprinzip ist es egal, ob du den Barwert, oder den Endwert berechnest oder gar auf einen anderen Stichtag verzinst. Das bessere Angebot wird jedesmal besser sein, zu jedem Zeitpunkt!
|}

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== Maturabeispiele ==

1. Für ein Grundstück werden zwei Angebote vorgelegt:

A: 50‘000 sofort, 30‘000 nach 7 Jahren.

B: 40‘000 nach 3 Jahren und 45‘000 nach 6 Jahren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> a) Berechne, welches Angebot bei einer Verzinsung von 2% p.a. besser ist. </span>
<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:'''

$r=1+\frac{2}{100}=1.02$

A: $50000\cdot 7 + 30000=87‘434.28$

B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 89‘197.28$

'''Antwort:''' Angebot B ist bei einer Verzinsung von 2% somit besser.

</div>
</div>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> b) Berechne, welches Angebot bei einer Verzinsung von 4% p.a. besser ist.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:'''

$r=1+\frac{4}{100}=1.04$

A: $50000\cdot 7 + 30000=95‘796.59$

B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 93‘594.34$

'''Antwort:''' Angebot A ist bei einer Verzinsung von 4% besser.

</div>
</div>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> c) Berechne, bei welchem Zinssatz sind beide Angebote gleichwertig?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''

Hier muss Berechnet werden, wann ist
$$\textrm{Wert von Angebot A}=\textrm{Wert von Angebot B}$$
$$ $50000\cdot 7 + 30000 = 40000\cdot r^4+45000\cdot r $$

Nun muss r berechnet werden. Diese Gleichung löst man am besten mit dem [[Solve-Befehl]], wo wir annehmen können, dass $r$ zwischen 1.02 und 1.04 liegt (siehe Lösungen a) und b) ).

Man erhält: $r=1.0294$ und somit ist $i=2.94$%.

'''Antwort:''' Bei einem Zinssatz von 2.94% sind beide Angebote gleichwertig.
</div>
</div>

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen)

2014-02-10T18:49:34Z

62.46.246.117: /* Maturabeispiele */

Das Äquivalenzprinzip ist wichtig, wenn unterschiedliche Einzahlungen verglichen werden müssen, um beispielsweise zu entscheiden, welche Zahlung die bessere ist.

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!|Definition
|Das '''Äqivalenzprinzip der Mathematik besagt:

''"Zahlungen dürfen nur dann verglichen/addiert/subtrahiert werden,
wenn sie zuvor auf denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden."''
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== Musterbeispiel ==

Für ein Grundstück erhält Elizabeth Reichgut zwei Angebote für ein zum Verkauf stehendes Grundstück:

# Andreas Ohneland (A) bezahlt € 200'000 sofort und € 200'000 nach 3 Jahren.
# Bernhard Grundlos (B) bezahlt € 195'000 nach einem Jahr und € 205'000 nach zwei Jahren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Frage''': Für weches Angebot soll sie sich entscheiden, wenn von einem Zinssatz von $i_{eff}=4$% p.a. ausgangen werden kann? </span>

<div class="mw-collapsible-content">

''' Antwort''': Auf den ersten Blick wirken beide Angebote gleich gut, da beide insgesamt € 400'000 überweisen. Allerdings kommen nicht alle Einzahlungen zum selben Zeitpunkt, weswegen sie auch anders verzinst werden.
[[Datei:Aequivalenzp1.png|thumb|center|320px|In der Abbildung sind die Zahlungen an einem Zahlenstrahl angeordet]]
Laut dem Äquivalenzprinzip müssen wir die Einzahlungen zuerst auf denselben Stichtag auf- oder abzinsen, um sie zu vergleichen. Hier gibt es zwei sinnvolle Möglichkeiten:
* Abzinsen auf den Beginn (Berechnung des Barwertes $B$)
* Aufzinsen auf das 3. Jahr (Berechnung des Endwertes $E$)

Der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Aufzinsungsfaktor | Aufzinungsfaktor r]] beträgt $r=1.04$ (da $i_eff=4$ und $r=1+\frac{i_{eff}}{100}$ )

Zur Verdeutlichung wird an diesem Beispiel sowohl der Barwert, als auch der Endwert berechnet. Selbstverständlich würde es reichen, wenn nur eines von beiden berechnet wird:

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!| Berechnung des Barwerts
!| Berechnung des Endwerts
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Wir zinsen alle Einzahlungen zum Beginn ab (d.h. dividieren mit dem Abzinsungsfaktor):
[[Datei:Aequivalenzprinzip-barwert.png|thumb|center|300px|Berechnung des Barwertes]]

* Angebot A: $B_A=200000+\frac{200000}{r^3}=377'799,27$
* Angebot B: $B_B=\frac{195000}{r}+\frac{205000}{r^2}=377'034,02$

'''Antwort''' Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).

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Wir zinsen alle Einzahlungen zum Ende auf (d.h. multiplizieren mit dem Aufzinsungsfaktor):
[[Datei:Aequivalenzprinzip-endwert.png|thumb|center|320px|Berechnung des Endwertes]]

* Angebot A: $E_A=200000\cdot r^3+200000=424'972,80 $
* Angebot B: $E_B=195000\cdot r^2+205000\cdot r=424'112,00 $

'''Antwort''' Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).
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!|In beiden Fällen (sowohl beim Barwert, als auch beim Endwert) ist das Angebot A besser!
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!| Merke
| Beim Äquivalenzprinzip ist es egal, ob du den Barwert, oder den Endwert berechnest oder gar auf einen anderen Stichtag verzinst. Das bessere Angebot wird jedesmal besser sein, zu jedem Zeitpunkt!
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== Maturabeispiele ==

1. Für ein Grundstück werden zwei Angebote vorgelegt:

A: 50‘000 sofort, 30‘000 nach 7 Jahren.

B: 40‘000 nach 3 Jahren und 45‘000 nach 6 Jahren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> a) Berechne, welches Angebot bei einer effektiven Verzinsung von 2% p.a. besser ist. </span>
<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:'''

$r=1+\frac{2}{100}=1.02$

A: $50000\cdot 7 + 30000=87‘434.28$

B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 89‘197.28$

'''Antwort:''' Angebot B ist bei einer Verzinsung von 2% somit besser.

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<span style="color:#A020F0> b) Berechne, welches Angebot bei einer Verzinsung von 4% p.a. besser ist.
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'''Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:'''

$r=1+\frac{4}{100}=1.04$

A: $50000\cdot 7 + 30000=95‘796.59$

B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 93‘594.34$

'''Antwort:''' Angebot A ist bei einer Verzinsung von 4% besser.

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<span style="color:#A020F0> c) Berechne, bei welchem Zinssatz sind beide Angebote gleichwertig?
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'''Lösung:'''

Hier muss Berechnet werden, wann ist
$$\textrm{Wert von Angebot A}=\textrm{Wert von Angebot B}$$
$$ $50000\cdot 7 + 30000 = 40000\cdot r^4+45000\cdot r $$

Nun muss r berechnet werden. Diese Gleichung löst man am besten mit dem [[Solve-Befehl]], wo wir annehmen können, dass $r$ zwischen 1.02 und 1.04 liegt (siehe Lösungen a) und b) ).

Man erhält: $r=1.0294$ und somit ist $i=2.94$%.

'''Antwort:''' Bei einem Zinssatz von 2.94% sind beide Angebote gleichwertig.
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[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen)

2014-02-10T18:49:09Z

62.46.246.117: /* Maturabeispiele */

Das Äquivalenzprinzip ist wichtig, wenn unterschiedliche Einzahlungen verglichen werden müssen, um beispielsweise zu entscheiden, welche Zahlung die bessere ist.

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!|Definition
|Das '''Äqivalenzprinzip der Mathematik besagt:

''"Zahlungen dürfen nur dann verglichen/addiert/subtrahiert werden,
wenn sie zuvor auf denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden."''
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== Musterbeispiel ==

Für ein Grundstück erhält Elizabeth Reichgut zwei Angebote für ein zum Verkauf stehendes Grundstück:

# Andreas Ohneland (A) bezahlt € 200'000 sofort und € 200'000 nach 3 Jahren.
# Bernhard Grundlos (B) bezahlt € 195'000 nach einem Jahr und € 205'000 nach zwei Jahren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Frage''': Für weches Angebot soll sie sich entscheiden, wenn von einem Zinssatz von $i_{eff}=4$% p.a. ausgangen werden kann? </span>

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''' Antwort''': Auf den ersten Blick wirken beide Angebote gleich gut, da beide insgesamt € 400'000 überweisen. Allerdings kommen nicht alle Einzahlungen zum selben Zeitpunkt, weswegen sie auch anders verzinst werden.
[[Datei:Aequivalenzp1.png|thumb|center|320px|In der Abbildung sind die Zahlungen an einem Zahlenstrahl angeordet]]
Laut dem Äquivalenzprinzip müssen wir die Einzahlungen zuerst auf denselben Stichtag auf- oder abzinsen, um sie zu vergleichen. Hier gibt es zwei sinnvolle Möglichkeiten:
* Abzinsen auf den Beginn (Berechnung des Barwertes $B$)
* Aufzinsen auf das 3. Jahr (Berechnung des Endwertes $E$)

Der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Aufzinsungsfaktor | Aufzinungsfaktor r]] beträgt $r=1.04$ (da $i_eff=4$ und $r=1+\frac{i_{eff}}{100}$ )

Zur Verdeutlichung wird an diesem Beispiel sowohl der Barwert, als auch der Endwert berechnet. Selbstverständlich würde es reichen, wenn nur eines von beiden berechnet wird:

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!| Berechnung des Barwerts
!| Berechnung des Endwerts
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Wir zinsen alle Einzahlungen zum Beginn ab (d.h. dividieren mit dem Abzinsungsfaktor):
[[Datei:Aequivalenzprinzip-barwert.png|thumb|center|300px|Berechnung des Barwertes]]

* Angebot A: $B_A=200000+\frac{200000}{r^3}=377'799,27$
* Angebot B: $B_B=\frac{195000}{r}+\frac{205000}{r^2}=377'034,02$

'''Antwort''' Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).

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Wir zinsen alle Einzahlungen zum Ende auf (d.h. multiplizieren mit dem Aufzinsungsfaktor):
[[Datei:Aequivalenzprinzip-endwert.png|thumb|center|320px|Berechnung des Endwertes]]

* Angebot A: $E_A=200000\cdot r^3+200000=424'972,80 $
* Angebot B: $E_B=195000\cdot r^2+205000\cdot r=424'112,00 $

'''Antwort''' Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).
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!|In beiden Fällen (sowohl beim Barwert, als auch beim Endwert) ist das Angebot A besser!
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!| Merke
| Beim Äquivalenzprinzip ist es egal, ob du den Barwert, oder den Endwert berechnest oder gar auf einen anderen Stichtag verzinst. Das bessere Angebot wird jedesmal besser sein, zu jedem Zeitpunkt!
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== Maturabeispiele ==

1. Für ein Grundstück werden zwei Angebote vorgelegt:

A: 50‘000 sofort, 30‘000 nach 7 Jahren.

B: 40‘000 nach 3 Jahren und 45‘000 nach 6 Jahren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> a) Berechne, welches Angebot bei einer effektiven Verzinsung von 2% p.a. besser ist.
</span>

<div class="mw-collapsible-content"> '''Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:'''

$r=1+\frac{2}{100}=1.02$

A: $50000\cdot 7 + 30000=87‘434.28$

B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 89‘197.28$

'''Antwort:''' Angebot B ist bei einer Verzinsung von 2% somit besser.

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<span style="color:#A020F0> b) Berechne, welches Angebot bei einer Verzinsung von 4% p.a. besser ist.
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'''Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:'''

$r=1+\frac{4}{100}=1.04$

A: $50000\cdot 7 + 30000=95‘796.59$

B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 93‘594.34$

'''Antwort:''' Angebot A ist bei einer Verzinsung von 4% besser.

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<span style="color:#A020F0> c) Berechne, bei welchem Zinssatz sind beide Angebote gleichwertig?
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'''Lösung:'''

Hier muss Berechnet werden, wann ist
$$\textrm{Wert von Angebot A}=\textrm{Wert von Angebot B}$$
$$ $50000\cdot 7 + 30000 = 40000\cdot r^4+45000\cdot r $$

Nun muss r berechnet werden. Diese Gleichung löst man am besten mit dem [[Solve-Befehl]], wo wir annehmen können, dass $r$ zwischen 1.02 und 1.04 liegt (siehe Lösungen a) und b) ).

Man erhält: $r=1.0294$ und somit ist $i=2.94$%.

'''Antwort:''' Bei einem Zinssatz von 2.94% sind beide Angebote gleichwertig.
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[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen)

2014-02-10T18:48:30Z

62.46.246.117: /* Maturabeispiele */

Das Äquivalenzprinzip ist wichtig, wenn unterschiedliche Einzahlungen verglichen werden müssen, um beispielsweise zu entscheiden, welche Zahlung die bessere ist.

{| border="1"
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!|Definition
|Das '''Äqivalenzprinzip der Mathematik besagt:

''"Zahlungen dürfen nur dann verglichen/addiert/subtrahiert werden,
wenn sie zuvor auf denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden."''
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== Musterbeispiel ==

Für ein Grundstück erhält Elizabeth Reichgut zwei Angebote für ein zum Verkauf stehendes Grundstück:

# Andreas Ohneland (A) bezahlt € 200'000 sofort und € 200'000 nach 3 Jahren.
# Bernhard Grundlos (B) bezahlt € 195'000 nach einem Jahr und € 205'000 nach zwei Jahren.

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<span style="color:#A020F0> '''Frage''': Für weches Angebot soll sie sich entscheiden, wenn von einem Zinssatz von $i_{eff}=4$% p.a. ausgangen werden kann? </span>

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''' Antwort''': Auf den ersten Blick wirken beide Angebote gleich gut, da beide insgesamt € 400'000 überweisen. Allerdings kommen nicht alle Einzahlungen zum selben Zeitpunkt, weswegen sie auch anders verzinst werden.
[[Datei:Aequivalenzp1.png|thumb|center|320px|In der Abbildung sind die Zahlungen an einem Zahlenstrahl angeordet]]
Laut dem Äquivalenzprinzip müssen wir die Einzahlungen zuerst auf denselben Stichtag auf- oder abzinsen, um sie zu vergleichen. Hier gibt es zwei sinnvolle Möglichkeiten:
* Abzinsen auf den Beginn (Berechnung des Barwertes $B$)
* Aufzinsen auf das 3. Jahr (Berechnung des Endwertes $E$)

Der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Aufzinsungsfaktor | Aufzinungsfaktor r]] beträgt $r=1.04$ (da $i_eff=4$ und $r=1+\frac{i_{eff}}{100}$ )

Zur Verdeutlichung wird an diesem Beispiel sowohl der Barwert, als auch der Endwert berechnet. Selbstverständlich würde es reichen, wenn nur eines von beiden berechnet wird:

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Wir zinsen alle Einzahlungen zum Beginn ab (d.h. dividieren mit dem Abzinsungsfaktor):
[[Datei:Aequivalenzprinzip-barwert.png|thumb|center|300px|Berechnung des Barwertes]]

* Angebot A: $B_A=200000+\frac{200000}{r^3}=377'799,27$
* Angebot B: $B_B=\frac{195000}{r}+\frac{205000}{r^2}=377'034,02$

'''Antwort''' Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).

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Wir zinsen alle Einzahlungen zum Ende auf (d.h. multiplizieren mit dem Aufzinsungsfaktor):
[[Datei:Aequivalenzprinzip-endwert.png|thumb|center|320px|Berechnung des Endwertes]]

* Angebot A: $E_A=200000\cdot r^3+200000=424'972,80 $
* Angebot B: $E_B=195000\cdot r^2+205000\cdot r=424'112,00 $

'''Antwort''' Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).
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!|In beiden Fällen (sowohl beim Barwert, als auch beim Endwert) ist das Angebot A besser!
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| Beim Äquivalenzprinzip ist es egal, ob du den Barwert, oder den Endwert berechnest oder gar auf einen anderen Stichtag verzinst. Das bessere Angebot wird jedesmal besser sein, zu jedem Zeitpunkt!
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== Maturabeispiele ==

Für ein Grundstück werden zwei Angebote vorgelegt:

A: 50‘000 sofort, 30‘000 nach 7 Jahren.

B: 40‘000 nach 3 Jahren und 45‘000 nach 6 Jahren.

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<span style="color:#A020F0> a) Berechne, welches Angebot bei einer effektiven Verzinsung von 2% p.a. besser ist.

</span>
<div class="mw-collapsible-content"> '''Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:'''

$r=1+\frac{2}{100}=1.02$

A: $50000\cdot 7 + 30000=87‘434.28$

B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 89‘197.28$

'''Antwort:''' Angebot B ist bei einer Verzinsung von 2% somit besser.

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<span style="color:#A020F0> b) Berechne, welches Angebot bei einer Verzinsung von 4% p.a. besser ist.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:'''

$r=1+\frac{4}{100}=1.04$

A: $50000\cdot 7 + 30000=95‘796.59$

B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 93‘594.34$

'''Antwort:''' Angebot A ist bei einer Verzinsung von 4% besser.

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<span style="color:#A020F0> c) Berechne, bei welchem Zinssatz sind beide Angebote gleichwertig?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''

Hier muss Berechnet werden, wann ist
$$\textrm{Wert von Angebot A}=\textrm{Wert von Angebot B}$$
$$ $50000\cdot 7 + 30000 = 40000\cdot r^4+45000\cdot r $$

Nun muss r berechnet werden. Diese Gleichung löst man am besten mit dem [[Solve-Befehl]], wo wir annehmen können, dass $r$ zwischen 1.02 und 1.04 liegt (siehe Lösungen a) und b) ).

Man erhält: $r=1.0294$ und somit ist $i=2.94$%.

'''Antwort:''' Bei einem Zinssatz von 2.94% sind beide Angebote gleichwertig.
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[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen)

2014-02-10T18:43:08Z

62.46.246.117: /* Musterbeispiel */

Das Äquivalenzprinzip ist wichtig, wenn unterschiedliche Einzahlungen verglichen werden müssen, um beispielsweise zu entscheiden, welche Zahlung die bessere ist.

{| border="1"
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!|Definition
|Das '''Äqivalenzprinzip der Mathematik besagt:

''"Zahlungen dürfen nur dann verglichen/addiert/subtrahiert werden,
wenn sie zuvor auf denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden."''
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== Musterbeispiel ==

Für ein Grundstück erhält Elizabeth Reichgut zwei Angebote für ein zum Verkauf stehendes Grundstück:

# Andreas Ohneland (A) bezahlt € 200'000 sofort und € 200'000 nach 3 Jahren.
# Bernhard Grundlos (B) bezahlt € 195'000 nach einem Jahr und € 205'000 nach zwei Jahren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Frage''': Für weches Angebot soll sie sich entscheiden, wenn von einem Zinssatz von $i_{eff}=4$% p.a. ausgangen werden kann? </span>

<div class="mw-collapsible-content">

''' Antwort''': Auf den ersten Blick wirken beide Angebote gleich gut, da beide insgesamt € 400'000 überweisen. Allerdings kommen nicht alle Einzahlungen zum selben Zeitpunkt, weswegen sie auch anders verzinst werden.
[[Datei:Aequivalenzp1.png|thumb|center|320px|In der Abbildung sind die Zahlungen an einem Zahlenstrahl angeordet]]
Laut dem Äquivalenzprinzip müssen wir die Einzahlungen zuerst auf denselben Stichtag auf- oder abzinsen, um sie zu vergleichen. Hier gibt es zwei sinnvolle Möglichkeiten:
* Abzinsen auf den Beginn (Berechnung des Barwertes $B$)
* Aufzinsen auf das 3. Jahr (Berechnung des Endwertes $E$)

Der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Aufzinsungsfaktor | Aufzinungsfaktor r]] beträgt $r=1.04$ (da $i_eff=4$ und $r=1+\frac{i_{eff}}{100}$ )

Zur Verdeutlichung wird an diesem Beispiel sowohl der Barwert, als auch der Endwert berechnet. Selbstverständlich würde es reichen, wenn nur eines von beiden berechnet wird:

{| align="center"
|-
|
{| border="1"
!| Berechnung des Barwerts
!| Berechnung des Endwerts
|-
|
Wir zinsen alle Einzahlungen zum Beginn ab (d.h. dividieren mit dem Abzinsungsfaktor):
[[Datei:Aequivalenzprinzip-barwert.png|thumb|center|300px|Berechnung des Barwertes]]

* Angebot A: $B_A=200000+\frac{200000}{r^3}=377'799,27$
* Angebot B: $B_B=\frac{195000}{r}+\frac{205000}{r^2}=377'034,02$

'''Antwort''' Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).

|
Wir zinsen alle Einzahlungen zum Ende auf (d.h. multiplizieren mit dem Aufzinsungsfaktor):
[[Datei:Aequivalenzprinzip-endwert.png|thumb|center|320px|Berechnung des Endwertes]]

* Angebot A: $E_A=200000\cdot r^3+200000=424'972,80 $
* Angebot B: $E_B=195000\cdot r^2+205000\cdot r=424'112,00 $

'''Antwort''' Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).
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|}

|-
!|In beiden Fällen (sowohl beim Barwert, als auch beim Endwert) ist das Angebot A besser!
|}

</div>
</div>

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{| border="1" align="center"
|-
!| Merke
| Beim Äquivalenzprinzip ist es egal, ob du den Barwert, oder den Endwert berechnest oder gar auf einen anderen Stichtag verzinst. Das bessere Angebot wird jedesmal besser sein, zu jedem Zeitpunkt!
|}

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== Maturabeispiele ==

Für ein Grundstück werden zwei Angebote vorgelegt:
A: 50‘000 sofort, 30‘000 nach 7 Jahren.
B: 40‘000 nach 3 Jahren und 45‘000 nach 6 Jahren.
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> a) Berechne, welches Angebot bei einer effektiven Verzinsung von 2% p.a. besser ist.
</span>
<div class="mw-collapsible-content"> ‘‘‘Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$: ‘‘‘
$r=1+\frac{2}{100}=1.02$

A: $50000\cdot 7 + 30000=87‘434.28$
B: $40000*r^4+45000*r= 89‘197.28$
Angebot B ist bei einer Verzinsung von 2% somit besser.

</div>
</div>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> b) Berechne, welches Angebot bei einer Verzinsung von 4% p.a. besser ist.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
‘‘‘Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$: ‘‘‘
$r=1+\frac{4}{100}=1.04$

A: $50000\cdot 7 + 30000=95‘796.59$
B: $40000*r^4+45000*r= 93‘594.34$
Angebot A ist bei einer Verzinsung von 4% besser.

</div>
</div>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> c) Berechne, bei welchem Zinssatz sind beide Angebote gleichwertig?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
‘‘‘Lösung‘‘‘:
Hier muss Berechnet werden, wann ist
$$\textrm{Wert von Angebot A}=\textrm{Wert von Angebot B}$$
$$ $50000\cdot 7 + 30000 = 40000*r^4+45000*r $$
Nun muss r berechnet werden. Diese Gleichung löst man am besten mit dem [[Solve-Befehl]], wo wir annehmen können, dass $r$ zwischen 1.02 und 1.04 liegt (siehe Lösungen a) und b) ).

Man erhält: $r=1.0294$ und somit ist $i=2.94$%.

‘‘‘Antwort:‘‘‘ Bei einem Zinssatz von 2.94% sind beide Angebote gleichwertig.
</div>
</div>

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Kategorie:Analysis

2014-02-10T11:53:41Z

62.46.246.117: Die Seite wurde neu angelegt: „Angewandte Mathematik“

[[Angewandte Mathematik]]

Kategorie:Differenzieren

2014-02-10T11:52:39Z

62.46.246.117: Die Seite wurde neu angelegt: „Kategorie: Analysis“

[[Kategorie: Analysis]]

Differenzen- und Differentialquotient

2014-02-10T11:52:16Z

62.46.246.117: /* Maturabeispiele */

== Was lernst du hier ==
* Wie berechne ich die '''durschschnittliche Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der [[Sekante]].
* Wie berechne ich die '''momentane Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der [[Tangente]].

== Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)==
=== Definition ===
{| border ="1"
| '''Definition:'''
|-
| Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:
$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
wird als '''Differenzenquotient''' bezeichnet.
<br>
<br>
Er gibt die durschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x|f(x)$ und $B=(f(x+\Delta x) | x+\Delta x )$ an.
| [[Datei:Diffquotient.png|thumb|500px| Der Differenzenquotient berechnet die Steigung der [[Sekante]] s.]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
* Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
* Der Name ''Differenzenquotient'' kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:
$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
* [[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen]]
</div>
</div>

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=== Video-Erklärung ===
{| border ="1" align="center"
!| Video zum Differenzenquotienten
|-
| Hinweise zum Video:
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
|-
|{{#ev:youtube|m8QvU2ezu48}}
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Bestimme mithilfe der Tabelle bei der Stelle [http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=m8QvU2ezu48#t=203 3:23min] eine [[Regression|quadratische Regression]], um die Gleichung der Parabel zu bestimmen. Achtung: x-Achse=Zeit und y-Achse=Weg (in der Tabelle ist es gerade umgekehrt!!)
# Berechne mithilfe der Lösung von 1., nach wie vielen Sekunden der Läufer 30m zurückgelegt hat.
# Begründe, warum bei der Lösung für 1. der konstante Term c bei der Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ annähernd den Wert 0 haben muss.
</div>
</div>
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:BspRegression.png|thumb|150px|right|Tabelle]]
# $y=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07$
# $30=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07 \rightarrow x=4.5 \textrm{Sekunden} $
# Der Sprinter startet aus dem Stehen, deshalb ist der Weg nach 0 Sekunden y(0)=0. Da die Punkte nicht alle genau auf einer Parabel liegen, erhält man bei der Regression einen kleinen "Fehler" (hier von -0.07)
</div>
</div>
|}

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=== Beispiele ===
3. Klasse-Buch: S. 41
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== Der Differentialquotient (= momentane Steigung) ==
=== Definition ===
{| border ="1"
| '''Definition:'''
|-
| Die momentane Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle x
$$ {k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
wird als '''Differentialquotient''' bezeichnet.
<br>
<br>
Er gibt die momentane Steigung der Sekante durch den Punkte $A=(x|f(x)$ an.
| [[Datei:Differentialquotient.png|thumb|450px| Der Differentialquotient berechnet die Steigung der [[Tangente]] t.]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert.
[[Datei:Difquotuebergang.gif]]
* [[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen]]
</div>
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=== Video-Erklärung ===

{| border ="1" align="center"
!| Video zum Differentialquotienten
|-
| Hinweise zum Video:
* Dieses Video ist die Fortsetzung des [[Differenzen- und Differentialquotient#Video-Erklärung | Video zum Differenzenquotienten]].
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
|-
|{{#ev:youtube|9PJT83cU7tA}}
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung f'(x) (=k) der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=2$.
</div>
</div>
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* 1. Bestimmen der momentanen Steigung $f'(x)$
$\begin{align}
f'(x)&=&\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)&=&\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\
f'(x)=2\cdot x
\end{align}$

<br>
<br>
[[Datei:Bsp-diffquotient.png|thumb|400px|right|Graphische Lösung der Aufgabe 2]]
*2. Bestimmen der momentanen Steigung bei x=2:
$$f'(x)=2x$$
$$f'(2)=2\cdot 2$$
$$f'(2)=4$$
Die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 beträgt 4.
</div>
</div>
|}

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=== Musterbeispiele ===

=== Berechnung der 1. Ableitung mithilfe von Rechenregeln ===

== Maturabeispiele ==
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen]
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[exponentielle Abnahme]] und [[Integration]]
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke]
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[indirekte Proportion]]

[[Kategorie: Differenzieren]]