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Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T13:25:15Z

194.166.227.209: /* die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....} 
|}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}. 
|}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ 
|}

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind 
|}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $e =2.718...$, die [[eulersche Zahl e|eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]]).
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| $$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.
|}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} = \textrm{die imaginären Zahlen} $$ 
|}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$ 
|}

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T13:24:47Z

194.166.227.209: /* die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....} 
|}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}. 
|}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ 
|}

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind 
|}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $e =2.718...$, die [[eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| $$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.
|}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} = \textrm{die imaginären Zahlen} $$ 
|}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$ 
|}

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T13:24:12Z

194.166.227.209: /* die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....} 
|}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}. 
|}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ 
|}

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind 
|}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| $$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.
|}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} = \textrm{die imaginären Zahlen} $$ 
|}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$ 
|}

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T13:23:28Z

194.166.227.209: /* die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....} 
|}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}. 
|}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ 
|}

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind 
|}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| $$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.
|}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} = \textrm{die imaginären Zahlen} $$ 
|}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$ 
|}

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T13:22:43Z

194.166.227.209: /* die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....} 
|}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}. 
|}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ 
|}

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind 
|}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| $$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.
|}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} = \textrm{die imaginären Zahlen} $$ 
|}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$ 
|}

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T13:22:08Z

194.166.227.209: /* die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....} 
|}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}. 
|}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ 
|}

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind 
|}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| $$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.
|}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} = \textrm{die imaginären Zahlen} $$ 
|}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$ 
|}

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T13:20:54Z

194.166.227.209: /* die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....} 
|}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}. 
|}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z} ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
*$ -3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ 
|}

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind 
|}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| $$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.
|}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} = \textrm{die imaginären Zahlen} $$ 
|}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$ 
|}

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T13:19:10Z

194.166.227.209:

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....} 
|}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}. 
|}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ 
|}

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind 
|}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| $$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.
|}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} = \textrm{die imaginären Zahlen} $$ 
|}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$ 
|}

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T13:11:25Z

194.166.227.209: /* die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....} 
|}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind
Beispiele sind
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt
$$ \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} = \textrm{die imaginären Zahlen} $$

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Grundkompetenzen Teil A

2013-09-26T13:00:45Z

194.166.227.209: /* Zahlen und Maße */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen des gemeinsamen Teils (Teil A) auf. Für jene Kompetenzen, die in allen HLWs zusätzlich noch verlangt werden, klicke auf [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6]]

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 5 Inhaltsbereiche gegliedert:

== Zahlen und Maße ==

{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|1.1.
| mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen rechnen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der Zahlengeraden veranschaulichen
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| Theorie]]
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)#Beispiele Zahlenmengen (1.1.) | Beispiele]]
|-
|1.2.
| Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung in der Form <math> ± a · 10 &circ;{k} </math> mit <math> 1 ≤ a < 10 \textnormal{und} a \in \mathbb{R} , k \in \mathbb{Z} </math> darstellen und damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3) | Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Beispiele]]
|-
|1.3.
| Vielfache und Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen (Nano
bis Tera); Größen als Maßzahl mal Maßeinheit darstellen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Beispiele]]
|-
|1.4.
| überschlagsrechnen und runden, Ergebnisse beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in
kontextbezogener Genauigkeit angeben
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Theorie]]
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.)#Beispiele Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Beispiele]]
|-
|1.5.
| Zahlenangaben in Prozent und Promille im Kontext anwenden und mit Prozentsätzen und
Promillesätzen rechnen
| [[Prozentrechnung (1.5.) | Theorie]]
| [[Prozentrechnung (1.5.)#Beispiele Prozentrechnung (1.5.) | Beispiele]]
|-
|1.6.
| den Betrag einer Zahl verstehen und anwenden
| [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Theorie]]
| [[Betrag einer Zahl (1.6.)#Beispiele Betrag (1.6.) | Beispiele]]
|}

== Algebra und Geometrie ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|2.1.
| Rechnen mit Termen
| [[Rechnen mit Termen(2.1.)| Theorie]]
| [[Rechnen mit Termen (2.1.)#Beispiele (2.1.) | Beispiele]]
|-
|2.2.
| Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten anwenden;
Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen
| [[Potenzen (2.2.) | Theorie]]
| [[Potenzen (2.2.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.3.
| Rechengesetze für Logarithmen anwenden
| [[Der Logarithmus (2.3.)| Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.4.
| lineare Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen, die Lösungen
interpretieren und argumentieren
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) | Theorie]]
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) #Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.5.
| Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen, begründen und interpretiere
| [[Theorie (2.5.) | Theorie]]
| [[Theorie (2.5.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.6.
| eine Formel nach einer der variablen Größen umformen und die gegenseitige Abhängigkeit
der Größen in einer Formel interpretieren und erklären
| [[Theorie (2.6.) | Theorie]]
| [[Theorie (2.6.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.7.
| lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle argumentieren, interpretieren und grafisch veranschaulichen
| [[Gleichungssysteme (2.7.) | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.8.
| lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen anwendungsbezogen aufstellen, mithilfe
von Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren und argumentieren
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#mit mehreren Variablen | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.9.
| quadratische Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und argumentieren
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.) | Theorie]]
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.10.
| Exponentialgleichungen vom Typ $ a^{k\cdot x}=b $ nach der Variablen
x auflösen
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Beispiele]]
|-
|2.11.
| Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mit Einsatz von Technologie auflösen und das Ergebnis interpretieren
| [[Solve- und Löse-Befehl | Theorie]]
| [[Solve- und Löse-Befehl#Beispiele zu 2.11. | Beispiele]]
|-
|2.12.
| Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck durch Sinus, Cosinus und Tangens eines
Winkels angeben; Seiten und Winkel anwendungsbezogen berechnen
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Beispiele | Beispiele]]
|}

== Funktionale Abhängigkeiten ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|3.1.
| eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der
Abhängigkeit zwischen Größen interpretieren;
den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologie darstellen, Funktionswerte ermitteln
und den Verlauf des Graphen im Kontext interpretieren
| [[Funktion (3.1.)| Theorie]]
| [[Funktion (3.1.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.2.
| lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die
Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren;
den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung
der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen interpretieren;
eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion interpretiere
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.3.
| Potenzfunktionen ($y=c∙x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{R} $ sowie $y=\sqrt{x}$) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren
| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.4.
| Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften
bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten)
interpretieren und damit argumentieren
| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.5.
| Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren
| [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.6.
| ineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit
einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren
| [[Wachstumsfunktionen (3.6) | Theorie]]
| [[Wachstumsfunktionen (3.6)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.7.
| die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als
Lösung(en) einer Gleichung interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.8.
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz
bestimmen und diese im Kontext interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.9.
| anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen
(lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren
| [[Theorie (3.9.) | Theorie]]
| [[Theorie (3.9.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.10.
| Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und
die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und argumentieren
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
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== Analysis ==
== Stochastik ==

[[Kategorie: Angewandte Mathematik]]

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T11:27:43Z

194.166.227.209: /* die imaginären Zahlen */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel'''

$$ 7+15=22 $$
Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind
Beispiele sind
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt
$$ \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} = \textrm{die imaginären Zahlen} $$

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T11:26:47Z

194.166.227.209: /* die imaginären Zahlen */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel'''

$$ 7+15=22 $$
Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind
Beispiele sind
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt
$$ \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} = \textrm{die imaginären Zahlen} $$

'''
Weitere Beispiele'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \$ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T11:26:04Z

194.166.227.209: /* die imaginären Zahlen */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel'''

$$ 7+15=22 $$
Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind
Beispiele sind
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt
$$ \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} = \textrm{die imaginären Zahlen} $$

'''
Weitere Beispiele'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i$ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T11:23:41Z

194.166.227.209: /* die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel'''

$$ 7+15=22 $$
Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind
Beispiele sind
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel'''
$$ \sqrt{-1} $$
Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit den allen negativen Wurzeln und nennt
$$ \textnormal{die Menge der negativen Wurzeln} = \textnormal{die imaginären Zahlen} $$

'''
Weitere Beispiele'''
* $$ \sqrt{-1}=i$$
* $ \sqrt{-4}=4i$ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T11:20:48Z

194.166.227.209: /* die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel'''

$$ 7+15=22 $$
Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind
Beispiele sind
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{I}$

$$ $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $\mathbb{R}=$ alle Dezimalzahlen.

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel'''
$$ \sqrt{-1} $$
Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit den allen negativen Wurzeln und nennt
$$ \textnormal{die Menge der negativen Wurzeln} = \textnormal{die imaginären Zahlen} $$

'''
Weitere Beispiele'''
* $$ \sqrt{-1}=i$$
* $ \sqrt{-4}=4i$ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T11:18:40Z

194.166.227.209: /* die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel'''

$$ 7+15=22 $$
Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ Q=\{\frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}}, b \neq 0}\} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind
Beispiele sind
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{I}$

$$ $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $\mathbb{R}=$ alle Dezimalzahlen.

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel'''
$$ \sqrt{-1} $$
Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit den allen negativen Wurzeln und nennt
$$ \textnormal{die Menge der negativen Wurzeln} = \textnormal{die imaginären Zahlen} $$

'''
Weitere Beispiele'''
* $$ \sqrt{-1}=i$$
* $ \sqrt{-4}=4i$ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T11:17:43Z

194.166.227.209: /* die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel'''

$$ 7+15=22 $$
Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ Q={\frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}}, b \neq 0}} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind
Beispiele sind
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{I}$

$$ $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $\mathbb{R}=$ alle Dezimalzahlen.

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel'''
$$ \sqrt{-1} $$
Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit den allen negativen Wurzeln und nennt
$$ \textnormal{die Menge der negativen Wurzeln} = \textnormal{die imaginären Zahlen} $$

'''
Weitere Beispiele'''
* $$ \sqrt{-1}=i$$
* $ \sqrt{-4}=4i$ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T11:16:35Z

194.166.227.209:

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel'''

$$ 7+15=22 $$
Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ \frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ Q={\frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}}, b \neq 0}} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind
Beispiele sind
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{I}$

$$ $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $\mathbb{R}=$ alle Dezimalzahlen.

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel'''
$$ \sqrt{-1} $$
Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit den allen negativen Wurzeln und nennt
$$ \textnormal{die Menge der negativen Wurzeln} = \textnormal{die imaginären Zahlen} $$

'''
Weitere Beispiele'''
* $$ \sqrt{-1}=i$$
* $ \sqrt{-4}=4i$ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =