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Rentenrechnung

2013-12-27T11:09:56Z

194.112.182.214: /* Musterbeispiel */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
* in gleichen Zeitabständen UND
* immer in gleicher Höhe 
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
| Zeitpunkt der Einzahlung || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
| Zeitpunkt des Gesamtwertes 
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
| Einzahlungsperiode 
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

!Wichtig! Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\% \begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\
\rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align}$
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) 
# Skizze
füge hier noch bild rentenrechnung-bsp ein 
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ 
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
 
 
 
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

Rentenrechnung

2013-12-27T10:37:47Z

194.112.182.214: /* Musterbeispiel */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
* in gleichen Zeitabständen UND
* immer in gleicher Höhe 
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
| Zeitpunkt der Einzahlung || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
| Zeitpunkt des Gesamtwertes 
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
| Einzahlungsperiode 
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

!Wichtig! Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\% \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%$
#:$\rightarrow r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) 
# Skizze
füge hier noch bild rentenrechnung-bsp ein 
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ 
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
 
 
 
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

Rentenrechnung

2013-12-27T10:15:54Z

194.112.182.214: /* Formeln */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
* in gleichen Zeitabständen UND
* immer in gleicher Höhe 
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
| Zeitpunkt der Einzahlung || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
| Zeitpunkt des Gesamtwertes 
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
| Einzahlungsperiode 
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

!Wichtig! Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\% \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%$
#:$\rightarrow r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) 
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ 
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
 
 
 
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

Rentenrechnung

2013-12-27T10:14:50Z

194.112.182.214: /* Formeln */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
* in gleichen Zeitabständen UND
* immer in gleicher Höhe 
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
| Zeitpunkt der Einzahlung || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
| Zeitpunkt des Gesamtwertes 
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
| Einzahlungsperiode 
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

!Wichtig! Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\% \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%$
#:$\rightarrow r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) 
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ 
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r $ der (äuqivalente) [[Aufzinsungsfaktor]]
: $ v $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
 
 
 
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

Rentenrechnung

2013-12-27T10:12:15Z

194.112.182.214: /* Musterbeispiel */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
* in gleichen Zeitabständen UND
* immer in gleicher Höhe 
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
| Zeitpunkt der Einzahlung || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
| Zeitpunkt des Gesamtwertes 
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
| Einzahlungsperiode 
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

!Wichtig! Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\% \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%$
#:$\rightarrow r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) 
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ 
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

Rentenrechnung

2013-12-27T08:24:33Z

194.112.182.214: /* Beispiele */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
* in gleichen Zeitabständen UND
* immer in gleicher Höhe 
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
| Zeitpunkt der Einzahlung || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
| Zeitpunkt des Gesamtwertes 
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
| Einzahlungsperiode 
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

!Wichtig! Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $p=4\% \rightarrow p_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%$
#:$\rightarrow r=1+\frac{p_{eff}}{100}=1.03 $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) 
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ 
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

Rentenrechnung

2013-12-27T08:24:08Z

194.112.182.214: /* Beispiele */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
* in gleichen Zeitabständen UND
* immer in gleicher Höhe 
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
| Zeitpunkt der Einzahlung || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
| Zeitpunkt des Gesamtwertes 
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
| Einzahlungsperiode 
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

!Wichtig! Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $p=4\% \rightarrow p_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%$
#:$\rightarrow r=1+\frac{p_{eff}}{100}=1.03 $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) 
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ 
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] S

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

Rentenrechnung

2013-12-27T08:16:37Z

194.112.182.214: /* Beispiele */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
* in gleichen Zeitabständen UND
* immer in gleicher Höhe 
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
| Zeitpunkt der Einzahlung || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
| Zeitpunkt des Gesamtwertes 
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
| Einzahlungsperiode 
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

!Wichtig! Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $p=4\% \rightarrow p_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%$
#:$\rightarrow r=1+\frac{p_{eff}}{100}=1.03 $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) 
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ 
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
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|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
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|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

Rentenrechnung

2013-12-27T08:12:38Z

194.112.182.214: /* Formeln Rentenrechnung */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
* in gleichen Zeitabständen UND
* immer in gleicher Höhe 
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
| Zeitpunkt der Einzahlung || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
| Zeitpunkt des Gesamtwertes 
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
| Einzahlungsperiode 
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

!Wichtig! Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $p=4\% \rightarrow p_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%$
#:$\rightarrow r=1+\frac{p_{eff}}{100}=1.03 $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) 
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ 
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

== Beispiele ==

Rentenrechnung

2013-12-27T07:51:11Z

194.112.182.214: /* Musterbeispiel */

Rentenrechnung

2013-12-27T07:49:35Z

194.112.182.214: /* Definition: Rente */

Rentenrechnung

2013-12-27T07:45:45Z

194.112.182.214: /* Beispiel */

Rentenrechnung

2013-12-27T07:45:12Z

194.112.182.214: /* Musterbeispiel einer unterjährigen Rente */

Rentenrechnung

2013-12-27T07:43:53Z

194.112.182.214: /* Beispiel */

Rentenrechnung

2013-12-27T07:40:28Z

194.112.182.214: /* Formeln */

Rentenrechnung

2013-12-27T07:16:27Z

194.112.182.214: /* Begriffe */

Zins- und Zinseszinsrechnung

2013-12-27T07:16:05Z

194.112.182.214: Die Seite wurde neu angelegt: „== Einleitung == == Einfache Zinsen == == Zinseszinsen == == Unterjährige Verzinsung == === relativer Zinssatz === === äquivalenter Zinssatz ===“

== Einleitung ==

== Einfache Zinsen ==

== Zinseszinsen ==

== Unterjährige Verzinsung ==

=== relativer Zinssatz ===

=== äquivalenter Zinssatz ===

Rentenrechnung

2013-12-27T07:04:05Z

194.112.182.214: /* Begriffe */

Rentenrechnung

2013-12-27T06:41:28Z

194.112.182.214: /* Definition: Rente */

Rentenrechnung

2013-12-27T06:38:09Z

194.112.182.214: /* Definition */

Rentenrechnung

2013-12-27T06:27:18Z

194.112.182.214: /* Definition */

== Definition==
{| border ="1"
| '''Rente:'''

|Unter einer Rente versteht man Einzahlungen, die
* in gleichen Zeitabständen 
UND
* immer in gleicher Höhe 
getätigt werden.
|}

== Begriffe ==
Rate R = Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird.

Man unterscheidet bei Renten
Zeitpunkt der Einzahlung: nachschüssig = am Ende der Zahlungsperiode; vorschüssig = am Anfang der Zahlungsperiode
Zeitpunkt des Gesamtwertes: Barwert = Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden), Endwert=Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
Einzahlungsperiode: Ganzjährige Rente (Einzahlungen erfolgen jährlich), Unterjährige Rente= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).

== Formeln ==
===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$B=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen.
== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[äquivalenten Zinssatz]] gerechnet werden.

== Beispiele ==

Rentenrechnung

2013-12-27T06:21:22Z

194.112.182.214: /* Definition */

== Definition==
Unter einer Rente versteht man Einzahlungen, die
* in gleichen Zeitabständen ‘‘‘UND‘‘‘
* immer in gleicher Höhe
getätigt werden.

== Begriffe ==
Rate R = Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird.

Man unterscheidet bei Renten
Zeitpunkt der Einzahlung: nachschüssig = am Ende der Zahlungsperiode; vorschüssig = am Anfang der Zahlungsperiode
Zeitpunkt des Gesamtwertes: Barwert = Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden), Endwert=Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
Einzahlungsperiode: Ganzjährige Rente (Einzahlungen erfolgen jährlich), Unterjährige Rente= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).

== Formeln ==
===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$B=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen.
== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[äquivalenten Zinssatz]] gerechnet werden.

== Beispiele ==

Rentenrechnung

2013-12-27T06:19:14Z

194.112.182.214: Die Seite wurde neu angelegt: „== Definition== Eine Rente ist eine Summe von Einzahlung, die * in gleichen Zeitabständen ‘‘‘UND‘‘‘ * immer in gleicher Höhe Eingezahlt werden. …“

== Definition==
Eine Rente ist eine Summe von Einzahlung, die
* in gleichen Zeitabständen ‘‘‘UND‘‘‘
* immer in gleicher Höhe
Eingezahlt werden.

== Begriffe ==
Rate R = Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird.

Man unterscheidet bei Renten
Zeitpunkt der Einzahlung: nachschüssig = am Ende der Zahlungsperiode; vorschüssig = am Anfang der Zahlungsperiode
Zeitpunkt des Gesamtwertes: Barwert = Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden), Endwert=Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
Einzahlungsperiode: Ganzjährige Rente (Einzahlungen erfolgen jährlich), Unterjährige Rente= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).

== Formeln ==
===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$B=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen.
== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[äquivalenten Zinssatz]] gerechnet werden.

== Beispiele ==

Finanzmathematik

2013-12-27T06:18:29Z

194.112.182.214: Die Seite wurde neu angelegt: „Zum Thema "Finanzmathematik" fallen: # Die Zins- und Zinseszinsrechnung # Die Rentenrechnung # Die Schuldentilgung“

Zum Thema "Finanzmathematik" fallen:

# Die [[Zins- und Zinseszinsrechnung]]
# Die [[Rentenrechnung]]
# Die [[Schuldentilgung]]

Kompetenzen Teil B: Cluster 6

2013-12-27T06:14:12Z

194.112.182.214:

Kompetenzen Teil B: Cluster 6

Die folgenden Punkte sind Stoff in HLWs:

*[[ Lineare Optimierung ]]
*[[ Finanzmathematik ]]

Kompetenzen Teil B: Cluster 6

2013-12-27T06:13:12Z

194.112.182.214:

Kompetenzen Teil B: Cluster 6

[[ Lineare Optimierung ]]
[[ Finanzmathematik ]]