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Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T13:19:40Z

194.112.182.212: /* Musterbeispiele */

== Warum gibt es Zinsen? ==

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
'''Aufgabe:''' Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitlas nach der Veranlagungsdauer!
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Rechenweg''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
</div>
</div>
'''Lösung:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

== Musterbeispiele ==

== Unterjährige und gemsichte Verzinsung ==
== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T13:17:39Z

194.112.182.212: /* Musterbeispiele */

== Warum gibt es Zinsen? ==

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
'''Aufgabe:''' Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitlas nach der Veranlagungsdauer!
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Rechenweg''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
</div>
</div>
'''Lösung:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
:<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
:<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
:<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
:<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

== Musterbeispiele ==

== Unterjährige und gemsichte Verzinsung ==
== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T13:16:46Z

194.112.182.212: /* Musterbeispiele */

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T13:15:02Z

194.112.182.212: /* Musterbeispiele */

== Warum gibt es Zinsen? ==

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
'''Aufgabe:''' Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitlas nach der Veranlagungsdauer!
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Rechenweg''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
</div>
</div>
'''Lösung:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* $K_n$ gefragt
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>
* $K_0$ gefragt
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>
* $n$ gefragt
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>
* $i$ gefragt
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

== Musterbeispiele ==

== Unterjährige und gemsichte Verzinsung ==
== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T13:11:59Z

194.112.182.212: /* Musterbeispiele */

== Warum gibt es Zinsen? ==

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
'''Aufgabe:''' Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitlas nach der Veranlagungsdauer!
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Rechenweg''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
</div>
</div>
'''Lösung:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* $K_n$ gefragt
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>
* $K_0$ gefragt
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>
* $n$ gefragt
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>
* $i$ gefragt
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |+1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (1+\sqrt[7]{\frac{118.87}{100})\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

== Musterbeispiele ==

== Unterjährige und gemsichte Verzinsung ==
== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T13:04:57Z

194.112.182.212: /* Zinseszinsformel */

== Warum gibt es Zinsen? ==

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
'''Aufgabe:''' Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitlas nach der Veranlagungsdauer!
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Rechenweg''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
</div>
</div>
'''Lösung:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* $K_n$ gefragt
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>
* $K_0$ gefragt
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>
* $n$ gefragt
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>
* $i$ gefragt
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{und} \sqrt[7]{} $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

== Musterbeispiele ==

== Unterjährige und gemsichte Verzinsung ==
== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T10:56:49Z

194.112.182.212: /* Einfache Zinsen */

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T10:55:57Z

194.112.182.212: /* Zinseszinsformel */

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T10:53:18Z

194.112.182.212: /* Zinseszinsformel */

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T10:36:36Z

194.112.182.212: /* Zinseszinsformel */

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T10:35:00Z

194.112.182.212: /* Zinseszinsen */

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T09:47:31Z

194.112.182.212: /* Musterbeispiel für die einfache Verzinsung */

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T09:45:59Z

194.112.182.212: /* Einfache Zinsen */

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T09:33:14Z

194.112.182.212: /* Begriffe */

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T09:27:00Z

194.112.182.212: /* Musterbeispiel für die einfache Verzinsung */

== Warum gibt es Zinsen? ==

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 5%)
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem Zinssatz 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
'''Aufgabe:''' Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitlas nach der Veranlagungsdauer!
<br>
<br>

'''Lösung:'''

* $K_0=75$
* $n=4 Monate = \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%

$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$

'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
=== effektiver Zinssatz ===
=== Aufzinsungsfaktor ===

== Musterbeispiele ==

== Unterjährige und gemsichte Verzinsung ==
== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T09:25:36Z

194.112.182.212: /* Einfache Zinsen */

== Warum gibt es Zinsen? ==

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 5%)
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem Zinssatz 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
'''Aufgabe:''' Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitlas nach der Veranlagungsdauer!
<br>
<br>
'''Lösung:'''
* $K_0=75$
* $n=4 Monate = \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%

$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$

'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
=== effektiver Zinssatz ===
=== Aufzinsungsfaktor ===

== Musterbeispiele ==

== Unterjährige und gemsichte Verzinsung ==
== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-01-01T09:10:22Z

194.112.182.212: /* Begriffe */

== Warum gibt es Zinsen? ==

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 5%)
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
|}

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
=== effektiver Zinssatz ===
=== Aufzinsungsfaktor ===

== Musterbeispiele ==

== Unterjährige und gemsichte Verzinsung ==
== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Lineare Optimierung

2014-01-01T09:06:28Z

194.112.182.212: /* Musterbeispiel */

Die lineare Optimierung eignet sich besonders für wirtschaftliche Anwendungen, um (unter anderem) die optimale Produktionsmenge und den maximalen Gewinn zu bestimmen.
== Methode (zusammengefasst) ==
# Zuerst werden aus der Angabe alle Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen herausgelesen. Dazu gehören in der Regel auch immer die [[Nichtnegativitätsbedingungen]]
# Das Planungsfeld wird erstellt, indem die [[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Lösungsmengen der Ungleichungen gezeichnet werden]]
# Die Zielfunktion wird aufgestellt, deren Graph wird in das Planungsfeld gezeichnet und anschließend bis zum optimalen Punkt parallel verschoben.
# Die Koordinaten des optimalen Punktes werden bestimmt, indem man
#: a) die Koordinaten abliest
#: b) den [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 2 Variablen | Schnittpunkt der beiden Geraden]], die sich in diesem Punkt schneiden, berechnet.

== Video ==

{|
!| Aufstellen der Nebenbedingungen und Zielfkt
!| Planungsfeld und optimaler Punkt
|-
|{{#ev:youtube|Ie1MAKgLmzw}}
|{{#ev:youtube|fr0PJu3f588}}
|}

== Musterbeispiel ==
'''Angabe'''
{| align="center" border="1"
|Eine Kleiderfabrik stellt Hosen und Röcke her. Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen, allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück. Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.
a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in ein Ungleichungen.
<br>
b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.
<br>
c) Löse das System und interpretieren Sie die Lösung.
|}
<br>
<br>
'''Lösung'''

'''a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in Ungleichungen.'''
<br>
Sei x die Anzahl der Hosen, y die Anzahl der Röcke.
<br>
{| align="center" border="1"
|"''Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen''"
|}
$$ I:x\leq 70$$
$$II: y\leq 100 $$
{| align="center" border="1"
|"''allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück''"
|}
$$ III: x+y\leq 140 \rightarrow y\leq -x+140 $$
Nichtnegativitätsbedingungen: $$ IV: x\geq 0 \textrm{ und }V: y\geq 0$$
<br>
<br>

'''b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.'''
{| align="center" border="1"
|"''Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.''"
|}
Gewinn für eine Hose: $45-20=25$ €.
<br>
Gewinn für einen Rock: $35-15=20$ €.
<br>
Somit lautet die Zielfunktion, die den Gewinn angibt:

$$\begin{align} Z=25x+20y &\rightarrow -25x+Z=20y \\
&\rightarrow y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20} \end{align}$$
<br>
<br>
'''c) Löse das System und interpretiere die Lösung.'''

1. Schritt: Zuerst zeichnen wir das Planungsfeld:

$\begin{align} I:&x\leq 70&\\
II:&y\leq 100&\\
III: &x+y\leq 140& \rightarrow y\leq -x+140 \\
IV:& x\geq 0&\\
V: &y\leq 0& \end{align}$
<br>

[[Datei:Planungsfeld.png|center|Planungsfeld]]
<br>
<br>

2. Schritt: Dann zeichnen wir die Zielfunktion ein und verschieben sie parallel ganz nach oben, bis sie das Planungsfeld nur noch in einem Punkt berührt.<br>

$$y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20}\rightarrow k=\frac{25}{20} \textrm{und d kann frei gewählt werden.}$$

[[Datei:Planungsfeld u Zielfkt5.gif|center|Die Zielfunktion zeichnest du ein, wenn du für k 20 nach rechts und 25 hinunter gehst.]]

Der optimale Punkt ist der Schnittpunkt von $I: x=70$ und $II: y=-x+140$. (Hinweis: Natürlich können die Koordinaten des optimalen Punktes auch abgelesen werden, wir wollen sie hier aber berechnen).
<br>
<br>
<br>
3. Schritt Nun berechnen wir den optimal Punkt, indem wir die Geraden $I: x=70$ und $III: y=-x+140$ schneiden:

$$I: x=70$$
$$III: y=-x+140$$
Einsetzungsverfahren: I in III einsetzen.
$$ y=-70+140 \rightarrow y=70$$
Somit lauten die Koordinaten des optimalen Punktes: $P(70|70)$
<br>
<br>
<br>
4. Schritt: Zuletzt berechnen wir noch den maximalen Gewinn, indem wir den optimalen Punkt $(70|70)$ in die Zielfunktion $Z=25x+20y$ einsetzen:
$$Z=25\cdot 70+20\cdot 70=3150$$
<br>
<br>
<br>

5. Schritt: Antwortsatz
Der maximale Gewinn von 3150 € wird bei einer Produktion von 70 Hosen und 70 Röcken erzielt.

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=48&file=Weinhandel-C6.pdf Weinhandel(mit Lösung, Quelle: bifie.at)]