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Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T14:43:04Z

193.83.21.83: /* Halbwertszeit */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

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=== Übungsaufgabe ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

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== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
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=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

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=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

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== Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
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=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke: $\ \ \ \ \ \ $ ''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]]
|}

=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T14:41:57Z

193.83.21.83: /* Halbwertszeit */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

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=== Übungsaufgabe ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

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== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
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=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

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<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

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== Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
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=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke: $\ \ \ \ \ \ ''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]]
|}

=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T14:41:08Z

193.83.21.83: /* Halbwertszeit */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

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=== Übungsaufgabe ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

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== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
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=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

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</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

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=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
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== Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
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<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke: ''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]]
|}

=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T14:37:26Z

193.83.21.83: /* Halbwertszeit */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

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=== Übungsaufgabe ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

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== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
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=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

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=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

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== Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
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=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]]
|}

=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-08T14:36:15Z

193.83.21.83: /* Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [Basis]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
[http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Hier findest du ein Quiz],wo du das gelernte überprüfen kannst.

<br>
<br>
<br>

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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<br>

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>

== Weitere Materialien ==
* [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz: Graph und Funktionsgleichung]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-08T14:35:43Z

193.83.21.83: /* Graph der Exponentialfunktion */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

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| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [Basis]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

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|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

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| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
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| für $a>1$ oder $\lambda>0$
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ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

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[http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Hier findest du ein Quiz],wo du das gelernte überprüfen kannst.

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

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| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

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!|x
!|y
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|0
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|2
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| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
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{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
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!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

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=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

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[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

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Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

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== Weitere Materialien ==
* [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz: Graph und Funktionsgleichung]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-08T14:34:54Z

193.83.21.83: /* Weitere Materialien */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

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| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [Basis]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

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{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

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{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
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|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

<br>
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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>

== Weitere Materialien ==
* [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz: Graph und Funktionsgleichung]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-08T13:35:40Z

193.83.21.83: /* 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [Basis]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

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{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

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| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

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Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

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| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
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| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

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Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
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!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

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=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

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[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

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Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

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Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

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== Weitere Materialien ==
* [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-08T13:32:58Z

193.83.21.83: /* 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

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| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [Basis]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

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|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
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| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
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| für $a>1$ oder $\lambda>0$
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ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
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|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
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Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

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| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

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<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
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| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

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Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Kategorie:Funktionen

2014-07-08T13:31:51Z

193.83.21.83: Die Seite wurde neu angelegt: „Hier findest du die wichtigsten Funktionstypen“

Hier findest du die wichtigsten Funktionstypen

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-08T13:30:36Z

193.83.21.83: /* 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [Basis]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

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=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

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[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

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[[Kategorie: Funktionen]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-08T13:28:46Z

193.83.21.83: /* Graph der Exponentialfunktion */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [Basis]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

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{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

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{| border="0"
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| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

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Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

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<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
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| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

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=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>

[[Kategorie Funktionen]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-08T13:25:27Z

193.83.21.83:

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [Basis]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph:

----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----
{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ (d.h. wenn a zwischen 0 und 1 ist) oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>

[[Kategorie Funktionen]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-08T13:23:33Z

193.83.21.83:

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph:

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{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----
{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ (d.h. wenn a zwischen 0 und 1 ist) oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

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Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
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|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

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=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

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[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

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[[Kategorie Funktionen]]

Kompetenzen Teil B: Cluster 6

2014-07-08T13:13:14Z

193.83.21.83:

Kompetenzen Teil B: Cluster 6

Die folgenden Punkte sind Stoff in HLWs:

*[[ Lineare Optimierung ]]
*[[ Finanzmathematik ]]
* [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

Gleichungssysteme (2.7.)

2014-07-08T13:10:41Z

193.83.21.83: /* Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) */

Definition:
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

Beispiel:
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

<br>
<br>
<br>
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =
'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
<br>

'''bei unserm Beispiel:''' Der Punkt (23|12) löst das Gleichungssystem
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

'''Begründung:''' Setze den Punkt (23|12) ein:
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35 \textrm{ wahre Aussage} $$
$$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94}}=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

<br>
<br>
== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
'''Methode:'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[ lineare Gleichung | Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.

{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}

<br>
'''Beispiel:'''

1. Schritt:Umformen auf auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } |\cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

3. Schritt: Addiere oder Subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } |+\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

<br>
<br>
4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & |:2 \end{align}$
$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12|23) \} $

== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==
== Gleichsetzungsverfahren (Komparationsverfahren) ==
== Graphisches Verfahren ==
== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==

= Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =

Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.

Gleichungssysteme (2.7.)

2014-07-08T13:09:27Z

193.83.21.83: /* Gleichungssysteme mit 2 Variablen */

Definition:
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

Beispiel:
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

<br>
<br>
<br>
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =
'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
<br>

'''bei unserm Beispiel:''' Der Punkt (23|12) löst das Gleichungssystem
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

'''Begründung:''' Setze den Punkt (23|12) ein:
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35 \textrm{ wahre Aussage} $$
$$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94}}=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

<br>
<br>
== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
'''Methode:'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen Koeffizienten (Zahlen) vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[ lineare Gleichung | Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.

{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}

<br>
'''Beispiel:'''

1. Schritt:Umformen auf auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } |\cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

3. Schritt: Addiere oder Subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } |+\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

<br>
<br>
4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & |:2 \end{align}$
$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12|23) \} $

== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==
== Gleichsetzungsverfahren (Komparationsverfahren) ==
== Graphisches Verfahren ==
== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==

= Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =

Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.

Grundkompetenzen Teil A

2014-07-08T13:07:51Z

193.83.21.83: /* Zahlen und Maße */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen des gemeinsamen Teils (Teil A) auf. Für jene Kompetenzen, die in allen HLWs zusätzlich noch verlangt werden, klicke auf [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6]]

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 5 Inhaltsbereiche gegliedert:

== Zahlen und Maße ==

{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|1.1.
| mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen rechnen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der Zahlengeraden veranschaulichen
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| Theorie]]
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)#Beispiele Zahlenmengen (1.1.) | Beispiele]]
|-
|1.2.
| Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung in der Form $\pm a\cdot 10^{k} $ mit <math> 1 \leq a < 10 \textrm{und} a \in \mathbb{R} ,\ k \in \mathbb{Z} </math> darstellen und damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3) | Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Beispiele]]
|-
|1.3.
| Vielfache und Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen (Nano bis Tera); Größen als Maßzahl mal Maßeinheit darstellen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Beispiele]]
|-
|1.4.
| überschlagsrechnen und runden, Ergebnisse beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in
kontextbezogener Genauigkeit angeben
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Theorie]]
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.)#Beispiele Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Beispiele]]
|-
|1.5.
| Zahlenangaben in Prozent und Promille im Kontext anwenden und mit Prozentsätzen und
Promillesätzen rechnen
| [[Prozentrechnung (1.5.) | Theorie]]
| [[Prozentrechnung (1.5.)#Beispiele Prozentrechnung (1.5.) | Beispiele]]
|-
|1.6.
| den Betrag einer Zahl verstehen und anwenden
| [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Theorie]]
| [[Betrag einer Zahl (1.6.)#Beispiele Betrag (1.6.) | Beispiele]]
|}

== Algebra und Geometrie ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|2.1.
| Rechnen mit Termen
| [[Rechnen mit Termen(2.1.)| Theorie]]
| [[Rechnen mit Termen (2.1.)#Beispiele (2.1.) | Beispiele]]
|-
|2.2.
| Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten anwenden;
Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen
| [[Potenzen (2.2.) | Theorie]]
| [[Potenzen (2.2.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.3.
| Rechengesetze für Logarithmen anwenden
| [[Der Logarithmus (2.3.)| Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.4.
| lineare Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen, die Lösungen
interpretieren und argumentieren
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) | Theorie]]
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) #Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.5.
| Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen, begründen und interpretiere
| [[Theorie (2.5.) | Theorie]]
| [[Theorie (2.5.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.6.
| eine Formel nach einer der variablen Größen umformen und die gegenseitige Abhängigkeit
der Größen in einer Formel interpretieren und erklären
| [[Theorie (2.6.) | Theorie]]
| [[Theorie (2.6.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.7.
| lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle argumentieren, interpretieren und grafisch veranschaulichen
| [[Gleichungssysteme (2.7.) | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.8.
| lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen anwendungsbezogen aufstellen, mithilfe
von Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren und argumentieren
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#mit mehreren Variablen | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.9.
| quadratische Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und argumentieren
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.) | Theorie]]
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.10.
| Exponentialgleichungen vom Typ $ a^{k\cdot x}=b $ nach der Variablen
x auflösen
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Beispiele]]
|-
|2.11.
| Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mit Einsatz von Technologie auflösen und das Ergebnis interpretieren
| [[Solve- und Löse-Befehl | Theorie]]
| [[Solve- und Löse-Befehl#Beispiele zu 2.11. | Beispiele]]
|-
|2.12.
| Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck durch Sinus, Cosinus und Tangens eines
Winkels angeben; Seiten und Winkel anwendungsbezogen berechnen
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Beispiele | Beispiele]]
|}

== Funktionale Abhängigkeiten ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|3.1.
| eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der
Abhängigkeit zwischen Größen interpretieren;
den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologie darstellen, Funktionswerte ermitteln
und den Verlauf des Graphen im Kontext interpretieren
| [[Funktion (3.1.)| Theorie]]
| [[Funktion (3.1.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.2.
| lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die
Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren;
den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung
der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen interpretieren;
eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion interpretiere
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|3.3.
| Potenzfunktionen ($y=c\cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{R} $ sowie $y=\sqrt{x}$) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren
| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.4.
| Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften
bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten)
interpretieren und damit argumentieren
| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.5.
| Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren
| [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.6.
| ineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit
einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren
| [[Wachstumsfunktionen (3.6) | Theorie]]
| [[Wachstumsfunktionen (3.6)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.7.
| die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als
Lösung(en) einer Gleichung interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.8.
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz
bestimmen und diese im Kontext interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.9.
| anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen
(lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren
| [[Quadratische Funktionen | Theorie]]
| [[Theorie (3.9.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.10.
| Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und
die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und argumentieren
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Beispiele | Beispiele]]
|}

== Analysis ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|4.1.
|Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen auf der Basis eines intuitiven Begriffsverständnisses
argumentieren
| [[Theorie Grenzwert| Theorie]]
| [[Theorie Grenzwert#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.2.
| Differenzen- und Differenzialquotient als Änderungsraten interpretieren, damit anwendungsbezogen modellieren, rechnen und damit argumentieren
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|4.3.
| die Ableitungsfunktionen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen und Funktionen,
die aus diesen zusammengesetzt sind, berechnen
| [[Ableitungsregeln | Theorie]]
| [[Ableitugnsregeln#Beispiele| Beispiele]]
|-
|4.4.
| Monotonieverhalten, Steigung der Tangente und Steigungswinkel, lokale Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte von Funktionen am Graphen ablesen, mithilfe der Ableitungen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Kurvendiskussionen | Theorie]]
| [[Kurvendiskussionen#Maturabeispiele | Beispiele]]
|-
|4.5.
|den Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitungsfunktion bzw. einer Stammfunktion beschreiben; in ihrer grafischen Darstellung interpretieren und argumentieren
| [[graphisches Differenzieren | Theorie]]
| [[graphisches Differenzieren#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.6.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integrationsregeln | Theorie]]
| [[Integrationsregeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.7.
| das bestimmte Integral auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes als Grenzwert
einer Summe von Produkten interpretieren und damit argumentieren
| [[Integrieren| Theorie]]
| [[Integrieren#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.8.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integrieren| Theorie]]
| [[Integrieren#Beispiele | Beispiele]]
|}

== Stochastik==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|5.1.
|Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten)
grafisch darstellen und interpretieren sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise
anwendungsbezogen argumentieren (reis-, Stab- und Balken-/Säulendiagramme,
Boxplot)
| [[statistische Diagramme| Theorie]]
| [[statistische Diagramme#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.2.
| Mittelwerte und Streuungsmaße von Häufigkeitsverteilungen berechnen, interpretieren und
argumentieren
| [[statistische Kennzahlen| Theorie]]
| [[statistische Kennzahlen#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.3.
| die Wahrscheinlichkeit als intuitiven Grenzwert relativer Häufigkeit interpretieren
| [[Wahrscheinlichkeit| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit#Beispiele| Beispiele]]
|-
|5.4.
| die Additionsregel auf einander ausschließende Ereignisse und die Multiplikationsregel auf
unabhängige Ereignisse anwenden; Zufallsexperimente als Baumdiagramm darstellen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Wahrscheinlichkeit#Baumdiagramme| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.5.
|mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten
berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren
| [[Binomialverteilung | Theorie]]
| [[Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.6.
|mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren, Erwartungswert $\mu und Standardabweichung \sigma interpretieren und Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsdichte argumentieren
| [[Normalverteilung| Theorie]]
| [[Normalverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

[[Kategorie: Angewandte Mathematik]]