Differenzen- und Differentialquotient

2014-01-02T09:26:33Z

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== Was lernst du hier ==
* Wie berechne ich die '''durschschnittliche Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der [[Sekante]].
* Wie berechne ich die '''momentane Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der [[Tangente]].

== Der Differenzenquotient ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''
| Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:
$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
wird als '''Differenzenquotient''' bezeichnet.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
* Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
* Der Name ''Differenzenquotient'' kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:
$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
</div>
</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Video zum Differenzenquotienten'''
|-
| Hinweise zum Video:
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
|-
|{{#ev:youtube|m8QvU2ezu48}}
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Bestimme mithilfe der Tabelle bei der Stelle [http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=m8QvU2ezu48#t=203 3:23min] eine quadratische Regression, um die Gleichung der Parabel zu bestimmen. Achtung: x-Achse=Zeit und y-Achse=Weg (in der Tabelle ist es gerade umgekehrt!!)
# Berechne mithilfe der Lösung von 1., nach wie vielen Sekunden der Läufer 30m zurückgelegt hat.
# Begründe, warum bei der Lösung für 1. der konstante Term c bei der Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ den Wert 0 haben muss.
</div>
</div>
|}

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