Matura Wiki - Benutzerbeiträge [de]

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2013-10-16T15:44:10Z

193.170.142.83:

'''Willkommen im Matura-Wiki der HLW Marienberg'''

== Inhalt ==

Zu folgenden Maturafächern findest du hier Informationen:

* [[Angewandte Mathematik]]
* [[Rechnunswesen und Controlling]]
* [[Deutsch]]
* [[Englisch]]
* [[Spanisch]]
* [[Französisch]]

== Starthilfen ==
*[http://imb.donau-uni.ac.at/etutorials/index.php5/MediaWiki Wichtige Einführung] (Karin Orsinger)
*[http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Farbverwendung Texte können auch in Farbe] geschrieben werden. Die Farbcodes findest du [http://www.farb-tabelle.de/de/farbtabelle.htm HIER]
* Die Syntax für [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Collapsible_elements#NavFrame Aufklapp-Menüs]

Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [//meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch].

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2013-10-16T08:22:35Z

193.170.142.83:

== thema 1 ==
== thema 2 ==
== thema 3 ==
== thema 4 ==

Das ist jetzt mein text für Thema1.
<br>
Hier geht's <b>weiter<b>

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2013-10-16T08:21:54Z

193.170.142.83:

== thema 1 ==
== thema 2 ==
== thema 3 ==
== thema 4 ==

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2013-10-16T08:21:07Z

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thema 1
thema 2
thema 3
thema 4

Lineare Funktionen

2013-10-09T18:07:23Z

193.170.142.83: /* Online-Materialien */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $ y=k\cdot x+d$, mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </p>
|}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand vom Schnittpunkt der Geraden auf der y-Achse zum Urspring.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade zu zeichnen musst du
# d hinauf/hinab
# 1 nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>
<br>
<br>

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstumsfunktionen]]
<br>
<br>
<br>
== Online-Materialien ==
# [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad]
# [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Aufgaben] zum Bestimmen der Funktionsgleichung
<br>
Video: http://www.youtube.com/watch?v=blY2qdFV4ag
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==
<br>
<br>
<br>
== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

----
----
<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2013-10-09T18:06:57Z

193.170.142.83: /* Online-Materialien */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $ y=k\cdot x+d$, mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </p>
|}

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<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

<br>
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<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand vom Schnittpunkt der Geraden auf der y-Achse zum Urspring.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
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<br>
<br>
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== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade zu zeichnen musst du
# d hinauf/hinab
# 1 nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

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== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstumsfunktionen]]
<br>
<br>
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== Online-Materialien ==
# [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad]
# [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Aufgaben] zum Bestimmen der Funktionsgleichung
<br>
<br>
<br>
Video: http://www.youtube.com/watch?v=blY2qdFV4ag

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==
<br>
<br>
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== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
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4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
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5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
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6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T08:43:23Z

193.170.142.83:

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T08:42:07Z

193.170.142.83:

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ $ \sqrt{7} $ <math>\frac{1}{2} \neq sqrt{7}</math> gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
<br>
<br>
<br>

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel'''

$$ 7+15=22 $$
Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ \frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ Q={\frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}}, b \neq 0}} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die u'''ndendlich lang UND niemals periodisch''' sind
Beispiele sind
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{I}$

$$ $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $\mathbb{R}=$ alle Dezimalzahlen.

== die imaginären Zahlen ==

<span style="background-color:yellow"> Stoff der 2. Klasse </span>

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel'''
$$ \sqrt{-1} $$
Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit den allen negativen Wurzeln und nennt
$$ \textnormal{die Menge der negativen Wurzeln} = \textnormal{die imaginären Zahlen} $$

'''
Weitere Beispiele'''
* $ \sqrt{-1}=i$$
* $ \sqrt{-4}=4i$ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i$

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T08:39:25Z

193.170.142.83:

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ $ \sqrt{7} $ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
<br>
<br>
<br>

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel'''

$$ 7+15=22 $$
Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ \frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ Q={\frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}}, b \neq 0}} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die u'''ndendlich lang UND niemals periodisch''' sind
Beispiele sind
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{I}$

$$ $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $\mathbb{R}=$ alle Dezimalzahlen.

== die imaginären Zahlen ==

<span style="background-color:yellow"> Stoff der 2. Klasse </span>

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel'''
$$ \sqrt{-1} $$
Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit den allen negativen Wurzeln und nennt
$$ \textnormal{die Menge der negativen Wurzeln} = \textnormal{die imaginären Zahlen} $$

'''
Weitere Beispiele'''
* $ \sqrt{-1}=i$$
* $ \sqrt{-4}=4i$ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i$

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2013-09-26T08:38:24Z

193.170.142.83:

= Theorie =
$
\newcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
\newcommand{\pFq}[5]{{}_{#1}\mathrm{F}_{#2} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{#3}{#4} \bigg| {#5} \right)}
$
[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ $ \sqrt{7} $ gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
<br>
<br>
<br>

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel'''

$$ 7+15=22 $$
Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
$$ -3+7=4$$
oder
$$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
und $ \frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ Q={\frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}}, b \neq 0}} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die u'''ndendlich lang UND niemals periodisch''' sind
Beispiele sind
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{I}$

$$ $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $\mathbb{R}=$ alle Dezimalzahlen.

== die imaginären Zahlen ==

<span style="background-color:yellow"> Stoff der 2. Klasse </span>

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel'''
$$ \sqrt{-1} $$
Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit den allen negativen Wurzeln und nennt
$$ \textnormal{die Menge der negativen Wurzeln} = \textnormal{die imaginären Zahlen} $$

'''
Weitere Beispiele'''
* $ \sqrt{-1}=i$$
* $ \sqrt{-4}=4i$ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i$

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

Grundkompetenzen Teil A

2013-09-24T05:40:10Z

193.170.142.83: /* Zahlen und Maße */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen des gemeinsamen Teils (Teil A) auf. Für jene Kompetenzen, die in allen HLWs zusätzlich noch verlangt werden, klicke auf [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6]]

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 5 Inhaltsbereiche gegliedert:
# [[#Zahlen und Maße| Zahlen und Maße]]
# [[#Algebra und Geometrie| Algebra und Geometrie]]
# [[#Funktionale Abhängigkeiten | Funktionale Abhängigkeiten]]
# [[#Analysis | Analysis]]
# [[#Stochastik | Stochastik]]

== Zahlen und Maße ==

{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|1.1.
| mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen rechnen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der Zahlengeraden veranschauliche
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| Theorie]]
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)#Beispiele Zahlenmengen (1.1.) | Beispiele]]
|-
|1.2.
| Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung in der Form <math> ± a · 10 &circ;{k} </math> mit <math> 1 ≤ a < 10 \textnormal{und} a \in \mathbb{R} , k \in \mathbb{Z} </math> darstellen und damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
| [[Theorie Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3) | Theorie]]
| [[Theorie Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Beispiele]]
|-
|1.3.
| Vielfache und Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen (Nano
bis Tera); Größen als Maßzahl mal Maßeinheit darstellen
| [[Theorie Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Theorie]]
| [[Theorie Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Beispiele]]
|-
|1.4.
| überschlagsrechnen und runden, Ergebnisse beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in
kontextbezogener Genauigkeit angeben
| [[Theorie Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Theorie]]
| [[Theorie Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.)#Beispiele Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Beispiele]]
|-
|1.5.
| Zahlenangaben in Prozent und Promille im Kontext anwenden und mit Prozentsätzen und
Promillesätzen rechnen
| [[Theorie Prozentrechnung (1.5.) | Theorie]]
| [[Theorie Prozentrechnung (1.5.)#Beispiele Prozentrechnung (1.5.) | Beispiele]]
|-
|1.6.
| den Betrag einer Zahl verstehen und anwenden
| [[Theorie Betrag (1.6.) | Theorie]]
| [[Theorie Betrag (1.6.)#Beispiele Betrag (1.6.) | Beispiele]]
|}

== Algebra und Geometrie ==
== Funktionale Abhängigkeiten ==
== Analysis ==
== Stochastik ==

[[Kategorie: Angewandte Mathematik]]