Matura Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Lineare Funktionen

2014-08-26T15:46:35Z

188.23.68.250: /* Gerade zeichnen */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]

<ggb_applet width="923" height="445" version="4.2" ggbBase64="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" enableRightClick="true" showAlgebraInput="false" enableShiftDragZoom="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="true" enableLabelDrags="false" showResetIcon="true" />

== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>
<br>
<br>

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
<br>
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Geschwindigkeit]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

----
----
<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Gleichungssysteme (2.7.)

2014-08-26T15:20:29Z

188.23.68.250: /* Lösungsmenge $\mathbb{L}$ */

{{Vorlage:Definition|1= Ein '''lineares Gleichungssystem''' besteht aus mehreren [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

'''Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:'''

$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
}}

<br>
<br>
<br>
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =

'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen.

== Lösungsmenge $\mathbb{L}$==

Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
<br>
<br>
<br>
<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst: $ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$|2=
'''Begründung:''' Setze den Punkt $(23\vert 12)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=23$ und $y=12$ ist:
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems }}

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

<br>
<br>

== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Additionsverfahrens'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.}}

{| align="center"
|{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}
|}

<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$

$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

<br>
<br>
{| border=1
| Wichtig
| Das Additionsverfahren eignet sich nur für '''lineare Gleichunggsysteme'''. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so '''funktioniert''' das Additionsverfahren '''nicht'''.

Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:
|}

<br>
<br>
<br>

== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==

{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Einsetzungsverfahrens'''

1. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe [[Gleichungen umformen]])

2. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable.

3. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:

$ \begin{align}
I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\
I:\ \ &x &=&35-y
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:

$ \begin{align}
II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\
II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)

$ \begin{align}
II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\
II:\ 140-4y+2y&=94 & \\
140-2y&=94&\ \vert -140\\
-2y&=-46&\ \vert :(-2)\\
y&=23
\end{align}$

<br>
<br>

Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten:
$$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

== Graphisches Verfahren ==

{{Vorlage:Merke|1='''Methode:'''
1. Beide Gleichungen auf $y=...$ umformen.
2. Einzeichnen der Geraden aus I. und II. in dasselbe Koordinatensystem (siehe [[Lineare Funktionen|Lineare Funktionen y=kx+d]]
3. Ermitteln des Schnittpunktes $\rightarrow$ dieser ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems. }}

== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==

= Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =

Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

Gleichungssysteme (2.7.)

2014-08-26T14:00:20Z

188.23.68.250: /* Graphisches Verfahren */

{{Vorlage:Definition|1= Ein '''lineares Gleichungssystem''' besteht aus mehreren [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

'''Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:'''

$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
}}

<br>
<br>
<br>
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =

'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen.

== Lösungsmenge $\mathbb{L}$==

Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
<br>

{{Vorlage:Beispiel|1=Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst:
<br>
<br>

$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$|2=
'''Begründung:''' Setze den Punkt $(23\vert 12)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=23$ und $y=12$ ist:
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems }}

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

<br>
<br>

== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Additionsverfahrens'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.}}

{| align="center"
|{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}
|}

<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$

$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

<br>
<br>
{| border=1
| Wichtig
| Das Additionsverfahren eignet sich nur für '''lineare Gleichunggsysteme'''. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so '''funktioniert''' das Additionsverfahren '''nicht'''.

Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:
|}

<br>
<br>
<br>

== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==

{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Einsetzungsverfahrens'''

1. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe [[Gleichungen umformen]])

2. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable.

3. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:

$ \begin{align}
I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\
I:\ \ &x &=&35-y
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:

$ \begin{align}
II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\
II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)

$ \begin{align}
II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\
II:\ 140-4y+2y&=94 & \\
140-2y&=94&\ \vert -140\\
-2y&=-46&\ \vert :(-2)\\
y&=23
\end{align}$

<br>
<br>

Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten:
$$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

== Graphisches Verfahren ==

{{Vorlage:Merke|1='''Methode:'''
1. Beide Gleichungen auf $y=...$ umformen.
2. Einzeichnen der Geraden aus I. und II. in dasselbe Koordinatensystem (siehe [[Lineare Funktionen|Lineare Funktionen y=kx+d]]
3. Ermitteln des Schnittpunktes $\rightarrow$ dieser ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems. }}

== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==

= Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =

Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

Lineare Funktionen

2014-08-26T13:44:29Z

188.23.68.250: /* Online-Übungen */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]

<ggb_applet width="923" height="445" version="4.2" ggbBase64="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" enableRightClick="true" showAlgebraInput="false" enableShiftDragZoom="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="true" enableLabelDrags="false" showResetIcon="true" />

== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade zu zeichnen musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>
<br>
<br>

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
<br>
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Geschwindigkeit]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

----
----
<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2014-08-26T13:43:41Z

188.23.68.250: /* Online-Übungen */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]

<ggb_applet width="923" height="445" version="4.2" ggbBase64="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" enableRightClick="true" showAlgebraInput="false" enableShiftDragZoom="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="true" enableLabelDrags="false" showResetIcon="true" />

== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade zu zeichnen musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>
<br>
<br>

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
<br>
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Geschwindigkeit]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

----
----
<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Quadratische Funktionen

2014-08-26T13:39:56Z

188.23.68.250: /* Beispiele */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{| border ="1" cellpadding="5"
| <p style="background-color:#E0E0E0">'''Definition:'''</p>

| Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen | Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
{| align="right"
|mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]].
|}
|}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.
Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man 1 nach rechts und z.B. 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

<br>
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>

== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
<br>
<br>
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

<br>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel nach 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.
|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$
1. Schritt: ausquadrieren
$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$
2. Schritt: vereinfachen
$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$
$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$
Die Normalform von $f$ lautet $\underline\{underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

<br>
<br>
<br>

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
<br>
<br>
<br>

'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Quadratische Gleichung#Große Lösungsformel | Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
<br>
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

<br>

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
<br>

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Online-Übungsmaterialien ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]

== Matura-Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
:: Aufgabe b) lernst du erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]]

[[Kategorie: Funktionen]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-08-26T13:38:04Z

188.23.68.250: /* Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$
----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

<br>
<br>
<br>

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Kannst du diese Aufgaben alle, so [https://www.geogebratube.org/student/m82256 übe dich an diesem Quiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>
<br>
<br>
<br>
=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimmen Sie wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=6.43$$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ |textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.75^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.75^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.75=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.75}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Und [https://www.geogebratube.org/student/m82256 hier gibt es ein GeoGebraquiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

== Beispiele ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-08-26T13:33:30Z

188.23.68.250: /* 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$
----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

<br>
<br>
<br>

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimmen Sie wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=6.43$$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ |textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.75^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.75^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.75=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.75}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Und [https://www.geogebratube.org/student/m82256 hier gibt es ein GeoGebraquiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

== Beispiele ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-08-26T13:31:15Z

188.23.68.250: /* Weitere Materialien */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$
----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

<br>
<br>
<br>

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimmen Sie wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=6.43$$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ |textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.75^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.75^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.75=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.75}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Und [https://www.geogebratube.org/student/m82256 hier gibt es ein GeoGebraquiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

== Beispiele ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-08-26T13:25:33Z

188.23.68.250:

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$
----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

<br>
<br>
<br>

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimmen Sie wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=6.43$$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ |textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.75^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.75^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.75=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.75}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]

== Beispiele ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Quadratische Funktionen

2014-08-26T13:22:01Z

188.23.68.250: /* Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{| border ="1" cellpadding="5"
| <p style="background-color:#E0E0E0">'''Definition:'''</p>

| Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen | Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
{| align="right"
|mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]].
|}
|}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.
Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man 1 nach rechts und z.B. 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

<br>
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>

== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
<br>
<br>
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

<br>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel nach 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.
|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$
1. Schritt: ausquadrieren
$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$
2. Schritt: vereinfachen
$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$
$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$
Die Normalform von $f$ lautet $\underline\{underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

<br>
<br>
<br>

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
<br>
<br>
<br>

'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Quadratische Gleichung#Große Lösungsformel | Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
<br>
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

<br>

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
<br>

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
:: Aufgabe b) lernst du erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]]

[[Kategorie: Funktionen]]

Quadratische Funktionen

2014-08-26T13:21:09Z

188.23.68.250: /* Scheitelpunktform */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{| border ="1" cellpadding="5"
| <p style="background-color:#E0E0E0">'''Definition:'''</p>

| Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen | Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
{| align="right"
|mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]].
|}
|}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.
Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man 1 nach rechts und z.B. 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

<br>
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>

== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
<br>
<br>
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

<br>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel nach 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.
|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$
1. Schritt: ausquadrieren
$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$
2. Schritt: vereinfachen
$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$
$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$
Die Normalform von $f$ lautet $\underline\{underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2}}$$
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

<br>
<br>
<br>

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
<br>
<br>
<br>

'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Quadratische Gleichung#Große Lösungsformel | Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
<br>
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

<br>

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
<br>

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
:: Aufgabe b) lernst du erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]]

[[Kategorie: Funktionen]]

Quadratische Funktionen

2014-08-26T12:47:32Z

188.23.68.250: /* Scheitelpunktform */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{| border ="1" cellpadding="5"
| <p style="background-color:#E0E0E0">'''Definition:'''</p>

| Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen | Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
{| align="right"
|mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]].
|}
|}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.
Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man 1 nach rechts und z.B. 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

<br>
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>

== Scheitelpunktform ==
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
<br>
<br>
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

<br>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel nach 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

Die Scheitelpunktform hat den Vorteil,

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

'''Umwandlung von der Scheitelpunktform in die Normalform'''

'''Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform - [[Quadratisches Ergänzen | quadratisches Ergänzen]]'''

<br>
<br>
<br>

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
<br>
<br>
<br>

'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Quadratische Gleichung#Große Lösungsformel | Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
<br>
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

<br>

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
<br>

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
:: Aufgabe b) lernst du erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]]

[[Kategorie: Funktionen]]

Gleichungssysteme (2.7.)

2014-08-26T12:41:52Z

188.23.68.250: /* Gleichsetzungsverfahren (Komparationsverfahren) */

{{Vorlage:Definition|1= Ein '''lineares Gleichungssystem''' besteht aus mehreren [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

'''Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:'''

$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
}}

<br>
<br>
<br>
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =

'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen.

== Lösungsmenge $\mathbb{L}$==

Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
<br>

{{Vorlage:Beispiel|1=Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst:
<br>
<br>

$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$|2=
'''Begründung:''' Setze den Punkt $(23\vert 12)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=23$ und $y=12$ ist:
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems }}

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

<br>
<br>

== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Additionsverfahrens'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.}}

{| align="center"
|{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}
|}

<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

<br>
<br>
'''4. Schritt:''' Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$

$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

<br>
<br>
{| border=1
| Wichtig
| Das Additionsverfahren eignet sich nur für '''lineare Gleichunggsysteme'''. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so '''funktioniert''' das Additionsverfahren '''nicht'''.

Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:
|}

<br>
<br>
<br>

== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==

{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Einsetzungsverfahrens'''

1. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe [[Gleichungen umformen]])

2. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable.

3. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:

$ \begin{align}
I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\
I:\ \ &x &=&35-y
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:

$ \begin{align}
II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\
II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)

$ \begin{align}
II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\
II:\ 140-4y+2y&=94 & \\
140-2y&=94&\ \vert -140\\
-2y&=-46&\ \vert :(-2)\\
y&=23
\end{align}$

<br>
<br>

Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten:
$$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

== Graphisches Verfahren ==
== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==

= Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =

Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]