Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung

2014-11-02T12:53:54Z

188.23.66.213: /* Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung */

== Erwartungswert und Standardabweichung ==
{{Vorlage:Video|1=w3hc_B_GhYw}}

== Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung ==

{{Vorlage:Video|1=ybp1nvHc5fk}}

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Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung

2014-11-02T12:43:21Z

188.23.66.213: Die Seite wurde neu angelegt: „ == Erwartungswert und Standardabweichung == {{Vorlage:Video|1=w3hc_B_GhYw}} == Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung == {{Vorlage:Video|1=ybp1nvH…“

== Erwartungswert und Standardabweichung ==
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== Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung ==

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Vorlage:Video

2014-11-02T12:40:08Z

188.23.66.213: Die Seite wurde neu angelegt: „{{#ev:youtube|{{{1}}} }}“

{{#ev:youtube|{{{1}}} }}

Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln

2014-11-02T12:38:03Z

188.23.66.213: /* Beispiele */

Im Folgenden beschäftigen wir uns mit "mehrstufigen Zufallsexperimenten". Dies sind Experimente, die mehrmals ausgeführt werden.

Beispiele:
* Mehrere Würfe mit einem Würfel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwei 6er hintereinander zu würfeln?
* Mehrere Kugeln aus einer Urne blind ziehen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 rote und 2 gelbe zu ziehen?
* Zweimaliges Werfen mit einer Münze: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal "Kopf" kommt?

== Baumdiagramme ==
Um mehrstufige Zufallsexperimente darzustellen, verwendet man Baumdiagramme. Im folgenden Beispiel ist ein Baumdiagramm für einen zweistufigen Münzwurf dargestellt.

[[Datei:Baumdiagramm-versuch1.gif|zentriert]]

* Für den ersten Versuch gibt es 2 Möglichkeiten: "Kopf" oder "Zahl"
* Für den zweiten Versuch gibt es dann wieder die Möglichkeiten: "Kopf" oder "Zahl".
* Dadurch entsteht ein Baum. Ganz oben ist der ''Stamm'', davon gehen die ''Äste'' weiter zu den sogenannten ''Knoten''. Ganz unten befinden sich die ''Blätter''.

Nachdem der Baum gezeichnet wurde, wird nun über jedem Ast jene Wahrscheinlichkeit eingetragen, mit der dieser Ast beschritten wird:
[[Datei:Baumdiagramm-mit Wahrscheinlichkeiten.png|500px|miniatur|zentriert|Da es sich um einen Münzwurf handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jeden Pfad $P=\frac{1}{2}$]]

== Pfadregeln ==
Mithilfe des Baumdiagramms, kann man nun ganz einfach die Wahrscheinlichkeiten für einen Pfad (z.B. 2x"Kopf" berechnen. Hierzu brauchen wir nur die

=== 1. Pfadregel (Multiplikationsregel)===
{{Vorlage:Merke|1= '''1. Pfadregel:'''

Geht man '''entlang eines Pfades''', so '''multipliziert''' man die Einzelwahrscheinlichkeiten (dies ist die '''Multiplikationsregel''' (auch "UND-Regel" genannt))
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen Werfen einer Münze beide Male "Kopf" zu sehen ist.
|2= Zuerst betrachten wir unser Baumdiagramm von oben und markieren jenen Pfad, bei dem wir zweimal "Kopf" werden:

[[Datei:Baumdiagramm-zweimalKopf mit W.png|400px|miniatur|zentriert|Der rot markierte Pfad ist jener, bei dem man zweimal "Kopf" wirft. ]]

Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit mithilfe der 1. Pfadregel:
$$P(Kopf\cap Kopf)=P(Kopf)\cdot P(Kopf)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\underline{\underline{\frac{1}{4} } }$$
}}

=== 2. Pfadregel (Additionsregel)===
{{Vorlage:Merke|1= Die '''Wahrscheinlichkeiten aller Pfade''', die zum gesuchten Ergebnis führen, werden '''addiert''' (dies ist die '''Additionsregel''' (auch "ODER-Regel" genannt).
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen Werfen einer Münze mindestens einmal "Kopf" erscheint.
|2= Zuerst markieren wir im Baumdiagramm wieder alle Pfade, bei denen man mindestens einmal Kopf erhält. Davon gibt es insgesamt 3:
[[Datei:Baumdiagramm-zwemindKopf mit W.png|400px|miniatur|zentriert|Bei allen 3 rot markierten Pfaden kommt mindestens einmal "Kopf"]]

Mithilfe der 1. und 2. Pfadregel erhält man nun die Gesamtwahrscheinlichkeit für "mind. einmal Kopf":

$\begin{align}
P(mind. \ einmal\ Kopf)&\underbrace{=}_{\textrm{1. Pfadregel} } & P(Kopf\cap Kopf)+P(Kopf\cap Zahl)+P(Zahl \cap Zahl)\\
&\underbrace{=}_{\textrm{2. Pfadregel} }& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=75\%
\end{align}$

Einfacher wäre es hier natürlich mithilfe der '''Gegenwahrscheinlichkeit''' gegangen:
$$P(mind. \ einmal\ Kopf)=1-P(niemals\ Kopf)=1-P(Zahl\cap Zahl)\underbrace{=}_{\textrm{1. Pfadregel} }1-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=75\%$$
}}

{| align="center"
|{{#ev:youtube|J8UEX5X7qQo}}
|}

== Beispiele ==

[http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p9_stoch_01/p9_stoch_01.htm Aufgaben samt Lösungen von brinkmann-du.de]

== Zusatz: Das Ziegenproglem ==

{{#ev:youtube|DWdcupH_p34}}

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

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Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung

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Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln