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Ableitung bestimmen

2014-09-05T16:54:25Z

188.23.155.211: /* Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) zu bestimmen.

Hinweis: Im Folgenden sei f(x) auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar (d.h. f'(x) existiert). Dies muss streng mathematisch vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$ ==
füge noch besseres Bild ein!
[[Datei:Differentialquotient.png|thumb|450px| Der Differentialquotient berechnet die Steigung der [[Tangente]] t.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten:}}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">
<p style="color:#CAE1FF>
Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]
</p>
<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] Ein [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet, in dem du das graphische differenzieren weiter üben kannst].

</div>

</div>

siehe noch:
* http://geogebratube.org/material/show/id/83408
* http://geogebratube.org/material/show/id/46089
* http://geogebratube.org/material/show/id/43313
* http://geogebratube.org/student/m46089

== Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
=== Grundlegende Regeln ===

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0
|-
|Multiplikativer Faktor || $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$
|-
| $e$-Funktion|| $e^x$ || $e^x$
|-
| Logarithmus || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$
|-
| Trigonometrische Funktionen || $sin(x)\\ cos(x)$ || $cos(x)\\ -sin(x)$

|}

=== Produktregel ===

=== Quotientenregel ===

=== Kettenregel ===

Ableitung bestimmen

2014-09-05T16:44:28Z

188.23.155.211: /* Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung */

Ableitung bestimmen

2014-09-05T16:43:48Z

188.23.155.211: /* Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) zu bestimmen.

Hinweis: Im Folgenden sei f(x) auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar (d.h. f'(x) existiert). Dies muss streng mathematisch vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$ ==
füge noch besseres Bild ein!
[[Datei:Differentialquotient.png|thumb|450px| Der Differentialquotient berechnet die Steigung der [[Tangente]] t.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten:}}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">
<p style="color:#CAE1FF>
Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]
</p>
<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] Ein [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet, in dem du das graphische differenzieren weiter üben kannst].

siehe noch:
* http://geogebratube.org/material/show/id/83408
* http://geogebratube.org/material/show/id/46089
* http://geogebratube.org/material/show/id/43313
* http://geogebratube.org/student/m46089

</div>

</div>

== Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==

Ableitung bestimmen

2014-09-05T15:32:38Z

188.23.155.211: /* Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung */