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Kurvendiskussionen

2014-02-08T16:26:07Z

188.23.154.165:

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* * Nullstellen
* Extremwerte
* Krümmungsverhalten und Wendepunkte
<br>
<br>
<br>
== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''Funktionswert''' an der Stelle x
| die '''Steigung''' von f an der Stelle x
| die '''Krümmung''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend. Die Entfernung nimmt ab.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| Nullstelle
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein Extremum.
| Möglicherweise befindet sich hier ein Wendepunkt.

|}
<br>
<br>
<br>
== Nullstellen ==

Kurvendiskussionen

2014-02-08T16:16:14Z

188.23.154.165: /* Grundwissen über f(x), f'(x) und f(x) */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* Monotonieverhalten
* Nullstellen
* Extremwerte
* Krümmungsverhalten und Wendepunkte

== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''Funktionswert''' an der Stelle x
| die '''Steigung''' von f an der Stelle x
| die '''Krümmung''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend. Die Entfernung nimmt ab.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| Nullstelle
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein Extremum.
| Möglicherweise befindet sich hier ein Wendepunkt.

|}

== Monotonieverhalten ==

Kurvendiskussionen

2014-02-08T16:13:06Z

188.23.154.165: Die Seite wurde neu angelegt: „== Überblick und Einleitung == Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die…“

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* Monotonieverhalten
* Nullstellen
* Extremwerte
* Krümmungsverhalten und Wendepunkte

== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''Funktionswert''' an der Stelle x
| die '''Steigung''' von f an der Stelle x
| die '''Krümmung''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend. Die Entfernung nimmt ab.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| Nullstelle
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein Extremum.
| Möglicherweise befindet sich hier ein Wendepunkt.

|}

== Monotonieverhalten ==

Rentenrechnung

2014-02-08T15:44:12Z

188.23.154.165: /* Formeln */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
*<p style="background-color:#E0E0E0"> in gleichen Zeitabständen </p> UND
*<p style="background-color:#E0E0E0"> immer in gleicher Höhe </p>
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt der Einzahlung </p> || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt des Gesamtwertes </p>
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Einzahlungsperiode </p>
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz |äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren (ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\%$ <br> $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\
\rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) <br> <br> [[Datei:Rentenrechnung3.png|center]]
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ <br>
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Aufzinsungsfaktor |Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
<br>
<br>
<br>
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==

'''Angabe:''' Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1.000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die [[KESt]] von 25%.

b)Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate.

'''Lösung a)'''
* $R=1000$
* $i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
* $n=15$
* vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
* $E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir:
$$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$
$$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$
$$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

'''Lösung b)'''
Der Satz "''die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen''" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg):
$$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$
$$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$
$$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben.
Das Angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert ''am ANFANG'' der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$, der neue Barwert.

*$B=E_{20}=22208.07$
*$n=20$
*$r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
*$R=?$
*vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir:
$$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$
$$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$
$$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R $$
$$ \frac{22208.07\cdot (0.97087-1)}{(0.97087^{20}-1)}=R $$
$$ \underline{\underline{1449.25=R}}$$

Antwort: Frau Aah kann 20 Jahre lang € 1449.25 abheben.

FN (N =20, I% = 4, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn)

== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

'''Angabe:''' Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in
nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.
<br>

'''Lösung'''
*$B=15000$
*$n=10\cdot 12=120$
*$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
*nachschüssig
*$R=$?

Durch Verwendung der [[Rentenrechnung#Formeln |nachschüssigen Barwertformel]] ergibt sich:

$\begin{align}
B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} :(v\cdot (v^{120}-1))\\
\end{align}$

$\begin{align}
\frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\
\end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29
Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1!
(Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

== TVM-Solver (Rechnen im TR) ==

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine [http://matura.marienberg.at/images/f/fd/Finanzmathe_am_TR-TMV-Solver.docx Erklärung des Programms]
!! interner Hinweis: Diese Datei muss noch aktualisiert werden !!

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Rentenrechnung

2014-02-08T15:42:41Z

188.23.154.165: /* Musterbeispiel */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
*<p style="background-color:#E0E0E0"> in gleichen Zeitabständen </p> UND
*<p style="background-color:#E0E0E0"> immer in gleicher Höhe </p>
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt der Einzahlung </p> || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt des Gesamtwertes </p>
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Einzahlungsperiode </p>
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz |äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren (ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\%$ <br> $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\
\rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) <br> <br> [[Datei:Rentenrechnung3.png|center]]
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ <br>
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
<br>
<br>
<br>
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==

'''Angabe:''' Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1.000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die [[KESt]] von 25%.

b)Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate.

'''Lösung a)'''
* $R=1000$
* $i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
* $n=15$
* vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
* $E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir:
$$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$
$$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$
$$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

'''Lösung b)'''
Der Satz "''die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen''" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg):
$$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$
$$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$
$$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben.
Das Angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert ''am ANFANG'' der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$, der neue Barwert.

*$B=E_{20}=22208.07$
*$n=20$
*$r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
*$R=?$
*vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir:
$$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$
$$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$
$$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R $$
$$ \frac{22208.07\cdot (0.97087-1)}{(0.97087^{20}-1)}=R $$
$$ \underline{\underline{1449.25=R}}$$

Antwort: Frau Aah kann 20 Jahre lang € 1449.25 abheben.

FN (N =20, I% = 4, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn)

== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

'''Angabe:''' Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in
nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.
<br>

'''Lösung'''
*$B=15000$
*$n=10\cdot 12=120$
*$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
*nachschüssig
*$R=$?

Durch Verwendung der [[Rentenrechnung#Formeln |nachschüssigen Barwertformel]] ergibt sich:

$\begin{align}
B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} :(v\cdot (v^{120}-1))\\
\end{align}$

$\begin{align}
\frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\
\end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29
Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1!
(Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

== TVM-Solver (Rechnen im TR) ==

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine [http://matura.marienberg.at/images/f/fd/Finanzmathe_am_TR-TMV-Solver.docx Erklärung des Programms]
!! interner Hinweis: Diese Datei muss noch aktualisiert werden !!

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Rentenrechnung

2014-02-08T15:41:22Z

188.23.154.165: /* Begriffe */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
*<p style="background-color:#E0E0E0"> in gleichen Zeitabständen </p> UND
*<p style="background-color:#E0E0E0"> immer in gleicher Höhe </p>
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt der Einzahlung </p> || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt des Gesamtwertes </p>
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Einzahlungsperiode </p>
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz |äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\%$ <br> $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\
\rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) <br> <br> [[Datei:Rentenrechnung3.png|center]]
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ <br>
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
<br>
<br>
<br>
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==

'''Angabe:''' Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1.000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die [[KESt]] von 25%.

b)Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate.

'''Lösung a)'''
* $R=1000$
* $i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
* $n=15$
* vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
* $E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir:
$$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$
$$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$
$$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

'''Lösung b)'''
Der Satz "''die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen''" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg):
$$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$
$$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$
$$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben.
Das Angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert ''am ANFANG'' der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$, der neue Barwert.

*$B=E_{20}=22208.07$
*$n=20$
*$r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
*$R=?$
*vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir:
$$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$
$$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$
$$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R $$
$$ \frac{22208.07\cdot (0.97087-1)}{(0.97087^{20}-1)}=R $$
$$ \underline{\underline{1449.25=R}}$$

Antwort: Frau Aah kann 20 Jahre lang € 1449.25 abheben.

FN (N =20, I% = 4, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn)

== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

'''Angabe:''' Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in
nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.
<br>

'''Lösung'''
*$B=15000$
*$n=10\cdot 12=120$
*$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
*nachschüssig
*$R=$?

Durch Verwendung der [[Rentenrechnung#Formeln |nachschüssigen Barwertformel]] ergibt sich:

$\begin{align}
B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} :(v\cdot (v^{120}-1))\\
\end{align}$

$\begin{align}
\frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\
\end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29
Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1!
(Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

== TVM-Solver (Rechnen im TR) ==

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine [http://matura.marienberg.at/images/f/fd/Finanzmathe_am_TR-TMV-Solver.docx Erklärung des Programms]
!! interner Hinweis: Diese Datei muss noch aktualisiert werden !!

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Rentenrechnung

2014-02-08T15:40:50Z

188.23.154.165: /* Begriffe */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
*<p style="background-color:#E0E0E0"> in gleichen Zeitabständen </p> UND
*<p style="background-color:#E0E0E0"> immer in gleicher Höhe </p>
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt der Einzahlung </p> || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt des Gesamtwertes </p>
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Einzahlungsperiode </p>
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz |b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\%$ <br> $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\
\rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) <br> <br> [[Datei:Rentenrechnung3.png|center]]
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ <br>
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
<br>
<br>
<br>
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==

'''Angabe:''' Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1.000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die [[KESt]] von 25%.

b)Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate.

'''Lösung a)'''
* $R=1000$
* $i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
* $n=15$
* vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
* $E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir:
$$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$
$$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$
$$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

'''Lösung b)'''
Der Satz "''die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen''" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg):
$$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$
$$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$
$$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben.
Das Angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert ''am ANFANG'' der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$, der neue Barwert.

*$B=E_{20}=22208.07$
*$n=20$
*$r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
*$R=?$
*vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir:
$$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$
$$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$
$$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R $$
$$ \frac{22208.07\cdot (0.97087-1)}{(0.97087^{20}-1)}=R $$
$$ \underline{\underline{1449.25=R}}$$

Antwort: Frau Aah kann 20 Jahre lang € 1449.25 abheben.

FN (N =20, I% = 4, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn)

== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

'''Angabe:''' Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in
nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.
<br>

'''Lösung'''
*$B=15000$
*$n=10\cdot 12=120$
*$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
*nachschüssig
*$R=$?

Durch Verwendung der [[Rentenrechnung#Formeln |nachschüssigen Barwertformel]] ergibt sich:

$\begin{align}
B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} :(v\cdot (v^{120}-1))\\
\end{align}$

$\begin{align}
\frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\
\end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29
Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1!
(Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

== TVM-Solver (Rechnen im TR) ==

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine [http://matura.marienberg.at/images/f/fd/Finanzmathe_am_TR-TMV-Solver.docx Erklärung des Programms]
!! interner Hinweis: Diese Datei muss noch aktualisiert werden !!

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Rentenrechnung

2014-02-08T15:39:51Z

188.23.154.165: /* Musterbeispiel einer unterjährigen Rente */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
*<p style="background-color:#E0E0E0"> in gleichen Zeitabständen </p> UND
*<p style="background-color:#E0E0E0"> immer in gleicher Höhe </p>
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt der Einzahlung </p> || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt des Gesamtwertes </p>
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Einzahlungsperiode </p>
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\%$ <br> $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\
\rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) <br> <br> [[Datei:Rentenrechnung3.png|center]]
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ <br>
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
<br>
<br>
<br>
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==

'''Angabe:''' Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1.000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die [[KESt]] von 25%.

b)Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate.

'''Lösung a)'''
* $R=1000$
* $i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
* $n=15$
* vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
* $E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir:
$$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$
$$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$
$$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

'''Lösung b)'''
Der Satz "''die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen''" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg):
$$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$
$$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$
$$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben.
Das Angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert ''am ANFANG'' der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$, der neue Barwert.

*$B=E_{20}=22208.07$
*$n=20$
*$r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
*$R=?$
*vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir:
$$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$
$$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$
$$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R $$
$$ \frac{22208.07\cdot (0.97087-1)}{(0.97087^{20}-1)}=R $$
$$ \underline{\underline{1449.25=R}}$$

Antwort: Frau Aah kann 20 Jahre lang € 1449.25 abheben.

FN (N =20, I% = 4, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn)

== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

'''Angabe:''' Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in
nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.
<br>

'''Lösung'''
*$B=15000$
*$n=10\cdot 12=120$
*$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
*nachschüssig
*$R=$?

Durch Verwendung der [[Rentenrechnung#Formeln |nachschüssigen Barwertformel]] ergibt sich:

$\begin{align}
B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} :(v\cdot (v^{120}-1))\\
\end{align}$

$\begin{align}
\frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\
\end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29
Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1!
(Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

== TVM-Solver (Rechnen im TR) ==

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine [http://matura.marienberg.at/images/f/fd/Finanzmathe_am_TR-TMV-Solver.docx Erklärung des Programms]
!! interner Hinweis: Diese Datei muss noch aktualisiert werden !!

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T15:38:27Z

188.23.154.165: /* Beispiele */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
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== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>

Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
{| border="1" align="center"
|-
|$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
|}
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 1:''' Ein Kredit wird mit 5% p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_1=5$% p.m. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$% p.q.

'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 2:''' Ein Kredit wird monatlich mit 2% p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_{12}=2$% p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$% p.a.

'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82% p.a.
</div>
</div>

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== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T15:37:56Z

188.23.154.165: /* b) der konforme (äquivalente) Zinssatz */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
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== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>

Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
{| border="1" align="center"
|-
|$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
|}
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 1:''' Ein Kredit wird mit 5% p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_1=5$% p.m. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$% p.q.

'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 2:''' Ein Kredit wird monatlich mit 2% p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_{12}=2$% p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$% p.a.

'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82% p.a.
</div>
</div>

== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T15:36:13Z

188.23.154.165: /* b) der konforme (äquivalente) Zinssatz */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 1:''' Ein Kredit wird mit 5% p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_1=5$% p.m. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$% p.q.

'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 2:''' Ein Kredit wird monatlich mit 2% p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_12=2$% p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$% p.a.

'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82% p.a.
</div>
</div>

== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T15:35:47Z

188.23.154.165: /* b) der konforme (äquivalente) Zinssatz */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
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<br>
== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 1:''' Ein Kredit wird mit 5% p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_1=5$% p.m. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$% p.q.
'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 2:''' Ein Kredit wird monatlich mit 2% p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_12=2$% p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$% p.a.
'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82% p.a.
</div>
</div>

== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T15:35:10Z

188.23.154.165: /* b) der konforme (äquivalente) Zinssatz */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
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<br>
== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Musterbeispiel 2: Ein Kredit wird mit 5% p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_1=5$% p.m. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$% p.q.
'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Musterbeispiel 2: Ein Kredit wird monatlich mit 2% p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_12=2$% p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$% p.a.
'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82% p.a.
</div>
</div>

== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T15:30:08Z

188.23.154.165: /* b) der konforme (äquivalente) Zinssatz */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
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== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
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Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
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$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
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Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
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<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
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</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

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=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
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== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Musterbeispiel: Ein Kredit wird monatlich mit 2% p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
*$i_12=2$% p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$% p.a.
'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82% p.a.

</div>

</div>

== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T15:28:50Z

188.23.154.165: /* Beispiele */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

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=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
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== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Musterbeispiel: Ein Kredit wird monatlich mit 2% p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz.
</span>

<div class="mw-collapsible-content"> '''Lösung''':
*$i_12=2$% p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82%
'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82% p.a.

</div>

</div>

== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Training

2014-02-08T15:28:13Z

188.23.154.165: /* Ausklappmenüs */

== Fett und Kursiv ==

<nowiki> '''Text fett''' </nowiki>
ergibt:
'''Text fett'''

und

<nowiki> ''Text kursiv'' </nowiki>

ergibt:

''Text kursiv''

<br>
<br><br>
<br>
<br>

== Link auf andere Wiki-Seite ==

<nowiki> [[ Titel der Seite | Text der dargestellt werden soll]] </nowiki>

'''Beispiel'''

<nowiki> [[ Lineare Optimierung | Hier lernst du die lineare Optimierung kennen]] </nowiki>

ergibt:

[[ Lineare Optimierung | Hier lernst du die lineare Optimierung kennen]]

<br>
<br><br>
<br>
<br>

== Link auf externe Seite ==

Schema:
<nowiki> [ URL ''Leertaste'' Text der dargestellt werden soll ] </nowiki>

'''Beispiel'''
<nowiki> [ http://marienberg.at/ Homepage des HLW Marienberg] </nowiki>

liefert

[http://marienberg.at/ Homepage des HLW Marienberg]

<br>
<br><br>
<br>
<br>

== Bild einfügen ==

<nowiki> [[Datei:Bsp-diffquotient.png]] </nowiki>

ergibt:

[[Datei:Bsp-diffquotient.png| Ein schönes Bild]]

und

<nowiki> [[Datei:Bsp-diffquotient.png|thumb|150|center|Ein schönes Bild]] </nowiki>

ergibt

[[Datei:Bsp-diffquotient.png|thumb|150|center|Ein schönes Bild]]

== Video einfügen ==

<nowiki> {{#ev:youtube|m8QvU2ezu48}} </nowiki>

ergibt

{{#ev:youtube|uQB7QRyF4p4}}

== Ausklappmenüs ==

{| border="1"
|-
|<nowiki> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px"> </nowiki>
<nowiki><span style="color:#A020F0></nowiki> '''Text der angezeigt werden soll''' <nowiki></span> </nowiki>

<nowiki><div class="mw-collapsible-content"> </nowiki>
'''Text der nicht angezeigt werden soll'''

<nowiki></div> </nowiki>

<nowiki></div>
</nowiki>
|}

liefert

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Text der angezeigt werden soll </span>
<div class="mw-collapsible-content">
Text der nicht angezeigt werden soll
</div>
</div>

Kategorie:Rechtliches zur AM-Matura

2014-02-08T15:20:07Z

188.23.154.165:

[[Kategorie:Angewandte Mathematik]]

Schuldentilgung

2014-02-08T15:18:58Z

188.23.154.165: Die Seite wurde neu angelegt: „Kategorie:Finanzmathematik“

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen)

2014-02-08T15:18:48Z

188.23.154.165: Die Seite wurde neu angelegt: „Kategorie:Finanzmathematik“

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Rentenrechnung

2014-02-08T15:18:34Z

188.23.154.165: /* Beispiele */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
*<p style="background-color:#E0E0E0"> in gleichen Zeitabständen </p> UND
*<p style="background-color:#E0E0E0"> immer in gleicher Höhe </p>
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt der Einzahlung </p> || vorschüssig
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| nachschüssig
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt des Gesamtwertes </p>
|Barwert
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|Endwert
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Einzahlungsperiode </p>
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich)
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==
Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]].

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\%$ <br> $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\
\rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) <br> <br> [[Datei:Rentenrechnung3.png|center]]
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ <br>
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
<br>
<br>
<br>
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
|}

===Herleitung der Formeln===
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==

'''Angabe:''' Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1.000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die [[KESt]] von 25%.

b)Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate.

'''Lösung a)'''
* $R=1000$
* $i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
* $n=15$
* vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
* $E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir:
$$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$
$$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$
$$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

'''Lösung b)'''
Der Satz "''die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen''" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg):
$$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$
$$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$
$$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben.
Das Angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert ''am ANFANG'' der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$, der neue Barwert.

*$B=E_{20}=22208.07$
*$n=20$
*$r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
*$R=?$
*vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir:
$$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$
$$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$
$$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R $$
$$ \frac{22208.07\cdot (0.97087-1)}{(0.97087^{20}-1)}=R $$
$$ \underline{\underline{1449.25=R}}$$

Antwort: Frau Aah kann 20 Jahre lang € 1449.25 abheben.

FN (N =20, I% = 4, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn)

== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

'''Angabe:''' Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in
nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.
<br>

'''Lösung'''
*$B=15000$
*$n=10\cdot 12=120$
*$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
*nachschüssig
*$R=$?

Durch Verwendung der [[Rentenrechnung#Formeln |nachschüssigen Barwertformel]] ergibt sich:

$\begin{align}
B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} :(v\cdot (v^{120}-1))\\
\end{align}$

$\begin{align}
\frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\
\end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29
Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1!
(Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

== TVM-Solver (Rechnen im TR) ==

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine [http://matura.marienberg.at/images/f/fd/Finanzmathe_am_TR-TMV-Solver.docx Erklärung des Programms]
!! interner Hinweis: Diese Datei muss noch aktualisiert werden !!

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Kategorie:Teil B: Cluster 6

2014-02-08T15:17:40Z

188.23.154.165: Die Seite wurde neu angelegt: „Kategorie: Angewandte Mathematik“

[[Kategorie: Angewandte Mathematik]]

Lineare Optimierung

2014-02-08T15:17:07Z

188.23.154.165: /* Beispiele */

Die lineare Optimierung eignet sich besonders für wirtschaftliche Anwendungen, um (unter anderem) die optimale Produktionsmenge und den maximalen Gewinn zu bestimmen.
== Einleitung - Was ist lineare Optimierung?==

Im Jahre 1948 wurden beim Wiederaufbau der Stadt Moskau Mathematiker damit beauftragt, den Transport von Kies aus 20 Kiesgruben zu 230 Baustellen kostensparend zu optimieren. Mit Hilfe der linearen Optimierung konnte eine Kostensenkung von 10% gegenüber dem ursprünglichen Preis erreicht werden.
W. Knödl von der TU Wien errechnete 1960 mit Hilfe der linearen Optimierung einen optimalen Kostenplan für den Transport von Zucker aus fünf österreichischen Zuckerfabriken an alle 300 österreichischen Großhändler. Auch hier konnten die Transportkosten um 10 % gesenkt werden.
Heute wird die lineare Optimierung im Transportwesen angewendet, um Transportkosten zu senken, in der Landwirtschaft, um Nutzflächen optimal auszunützen, in der Organisationsplanung, um die günstigsten Stunden- und Schichtpläne zu ermitteln usw.
Wir beschränken uns hier auf die Grundidee der linearen Optimierung und beschränken uns auf 2 Variablen.

== Methode (zusammengefasst) ==
# Zuerst lese den Text ganz genau durch und überlege dir, was gefragt ist. Was soll x sein, was soll y sein?
# Dann werden aus der Angabe alle Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen herausgelesen. Dazu gehören in der Regel auch immer die [[Nichtnegativitätsbedingungen]]
# Das Planungsfeld wird erstellt, indem die [[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Lösungsmengen der Ungleichungen gezeichnet werden]]
# Die Zielfunktion wird aufgestellt: Z gibt an, was maximiert/minimiert werden soll.
# Der Graph der Zielfunktion wird in das Planungsfeld gezeichnet (mit Z=0) und anschließend bis zum optimalen Punkt parallel hinauf (für das Maximum) oder hinunter (für das Minimum) verschoben.
# Die Koordinaten des optimalen Punktes werden bestimmt, indem man
#: a) die Koordinaten abliest
#: b) den [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 2 Variablen | Schnittpunkt der beiden Geraden]], die sich in diesem Punkt schneiden, berechnet.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
'''Bemerkungen:'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Meistens gibt es nur einen Lösungspunkt. Es kann aber auch vorkommen, dass die Zielfunktion zu einer Begrenzungsgeraden parallel ist und hier auch optimal ist. Jeder Punkt der Geraden, der auch im Planungsfeld liegt, ist dann Lösungspunkt.
# Die hier beschriebene graphische Lösungsmethode ist nur für zwei (höchstens drei) Variable anwendbar. In der Praxis treten viel mehr Variable auf; solche Verfahren sind nur noch mit rechnerischen Methoden (z.B.: Simplex-Algorithmus) zu bewältigen.
# '''Hauptsatz der linearen Optimierung:'''
#: Die Zielfunktion erreicht ihr Maximum oder Minimum stets am Rand des zulässigen Bereichs. In den meisten Aufgabenstellungen ist die Lösung eindeutig und liegt in einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs.
</div>
</div>

== Video ==

{|
!| Aufstellen der Nebenbedingungen und Zielfkt
!| Planungsfeld und optimaler Punkt
|-
|{{#ev:youtube|Ie1MAKgLmzw}}
|{{#ev:youtube|fr0PJu3f588}}
|}

== Musterbeispiel ==
'''Angabe'''
{| align="center" border="1"
|Eine Kleiderfabrik stellt Hosen und Röcke her. Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen, allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück. Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.
a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in ein Ungleichungen.
<br>
b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.
<br>
c) Löse das System und interpretieren Sie die Lösung.
|}
<br>
<br>
'''Lösung'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
'''a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in Ungleichungen.'''
<div class="mw-collapsible-content">

<br>
Sei x die Anzahl der Hosen, y die Anzahl der Röcke.
<br>
{| align="center" border="1"
|"''Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen''"
|}
$$ I:x\leq 70$$
$$II: y\leq 100 $$
{| align="center" border="1"
|"''allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück''"
|}
$$ III: x+y\leq 140 \rightarrow y\leq -x+140 $$
Nichtnegativitätsbedingungen: $$ IV: x\geq 0 \textrm{ und }V: y\geq 0$$
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
'''b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.'''
<div class="mw-collapsible-content">
{| align="center" border="1"
|"''Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.''"
|}
Gewinn für eine Hose: $45-20=25$ €.
<br>
Gewinn für einen Rock: $35-15=20$ €.
<br>
Somit lautet die Zielfunktion, die den Gewinn angibt:

$$\begin{align} Z=25x+20y &\rightarrow -25x+Z=20y \\
&\rightarrow y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20} \end{align}$$
<br>
<br>
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
'''c) Löse das System und interpretiere die Lösung.'''
<div class="mw-collapsible-content">

1. Schritt: Zuerst zeichnen wir das Planungsfeld:

$\begin{align} I:&x\leq 70&\\
II:&y\leq 100&\\
III: &x+y\leq 140& \rightarrow y\leq -x+140 \\
IV:& x\geq 0&\\
V: &y\leq 0& \end{align}$
<br>

[[Datei:Planungsfeld.png|center|Planungsfeld]]
<br>
<br>

2. Schritt: Dann zeichnen wir die Zielfunktion ein und verschieben sie parallel ganz nach oben, bis sie das Planungsfeld nur noch in einem Punkt berührt.<br>

$$y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20}\rightarrow k=\frac{25}{20} \textrm{und d kann frei gewählt werden.}$$

[[Datei:Planungsfeld u Zielfkt5.gif|center|Die Zielfunktion zeichnest du ein, wenn du für k 20 nach rechts und 25 hinunter gehst.]]

Der optimale Punkt ist der Schnittpunkt von $I: x=70$ und $II: y=-x+140$. (Hinweis: Natürlich können die Koordinaten des optimalen Punktes auch abgelesen werden, wir wollen sie hier aber berechnen).
<br>
<br>
<br>
3. Schritt Nun berechnen wir den optimal Punkt, indem wir die Geraden $I: x=70$ und $III: y=-x+140$ schneiden:

$$I: x=70$$
$$III: y=-x+140$$
Einsetzungsverfahren: I in III einsetzen.
$$ y=-70+140 \rightarrow y=70$$
Somit lauten die Koordinaten des optimalen Punktes: $P(70|70)$
<br>
<br>
<br>
4. Schritt: Zuletzt berechnen wir noch den maximalen Gewinn, indem wir den optimalen Punkt $(70|70)$ in die Zielfunktion $Z=25x+20y$ einsetzen:
$$Z=25\cdot 70+20\cdot 70=3150$$
<br>
<br>
<br>

5. Schritt: Antwortsatz
Der maximale Gewinn von 3150 € wird bei einer Produktion von 70 Hosen und 70 Röcken erzielt.

</div>
</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Beispiele ==
# [http://matura.marienberg.at/images/a/a0/Aufgaben_zur_linearen_Optimierung_%28Th-Germann%29.docx Übungsaufgaben samt Lösungen]
# [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=48&file=Weinhandel-C6.pdf Weinhandel(mit Lösung, Quelle: bifie.at)]

[[Kategorie:Teil B: Cluster 6]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T15:15:43Z

188.23.154.165: /* Beispiele */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Kategorie:Finanzmathematik

2014-02-08T15:15:15Z

188.23.154.165: Die Seite wurde neu angelegt: „Kategorie:Teil B: Cluster 6“

[[Kategorie:Teil B: Cluster 6]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T15:14:14Z

188.23.154.165: /* Beispiele */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* [ http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T15:05:32Z

188.23.154.165: /* Begriffe */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
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== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

== Beispiele ==

* Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz: http://www.geogebratube.org/student/m79721

* Siehe Trauner, Buch S. 86-90

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T15:05:04Z

188.23.154.165: /* Beispiele */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
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== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
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Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
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{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
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Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

== Beispiele ==

* Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz: http://www.geogebratube.org/student/m79721

* Siehe Trauner, Buch S. 86-90

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T14:00:36Z

188.23.154.165:

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

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=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
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== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

== Beispiele ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:55:07Z

188.23.154.165: /* Musterbeispiele */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

== Beispiele ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:54:01Z

188.23.154.165: /* Aufzinsungsfaktor */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Musterbeispiele ==
* Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

== Beispiele ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:53:10Z

188.23.154.165:

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Musterbeispiele ==
* Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

== Beispiele ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:52:12Z

188.23.154.165: /* konformer Zinssatz */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Musterbeispiele ==
* Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:49:00Z

188.23.154.165: /* b) der konforme (äquivalente) Zinssatz */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Musterbeispiele ==
* Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>
Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

===konformer Zinssatz ===

== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:47:38Z

188.23.154.165: /* a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Musterbeispiele ==
* Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor beim m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

Der äquivalente unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

</div>

</div>

===konformer Zinssatz ===

== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:43:35Z

188.23.154.165: /* Unterjährige Verzinsung */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Musterbeispiele ==
* Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
* Der Zinssatz '''$i=m\cdot i_m$''' heißt '''nomineller Jahreszinssatz''' oder '''Nominalzissatz'''
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den konformen Zinssatz''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor beim m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

Der äquivalente unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

</div>

</div>

===konformer Zinssatz ===

== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:37:26Z

188.23.154.165: /* b) der konforme (äquivalente) Zinssatz - $r_1=(r_m)^m$ */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Musterbeispiele ==
* Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_12$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
* '''$i_m$''' heißt unterjähriger Zinssatz.
* Der Zinssatz '''$i=m\cdot i_m$''' heißt '''nomineller Jahreszinssatz''' oder '''Nominalzissatz'''
|}

Beispiel:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor beim m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

Der äquivalente unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

</div>

</div>

===konformer Zinssatz ===

== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:33:11Z

188.23.154.165: /* b) der konforme (äquivalente) Zinssatz - $r_1=(r_m)^m$ */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Musterbeispiele ==
* Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_12$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
* '''$i_m$''' heißt unterjähriger Zinssatz.
* Der Zinssatz '''$i=m\cdot i_m$''' heißt '''nomineller Jahreszinssatz''' oder '''Nominalzissatz'''
|}

Beispiel:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz - $r_1=(r_m)^m$===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0></span> Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen

<div class="mw-collapsible-content">

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor beim m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

Der äquivalente unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

</div>

</div>

===konformer Zinssatz ===

== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:28:49Z

188.23.154.165: /* a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Musterbeispiele ==
* Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_12$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
* '''$i_m$''' heißt unterjähriger Zinssatz.
* Der Zinssatz '''$i=m\cdot i_m$''' heißt '''nomineller Jahreszinssatz''' oder '''Nominalzissatz'''
|}

Beispiel:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz - $r_1=(r_m)^m$===
Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen):

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor beim m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

Der äquivalente unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
bestimmt werden.

===konformer Zinssatz ===

== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Training

2014-02-08T13:12:18Z

188.23.154.165: /* Ausklappmenüs */

== Fett und Kursiv ==

<nowiki> '''Text fett''' </nowiki>
ergibt:
'''Text fett'''

und

<nowiki> ''Text kursiv'' </nowiki>

ergibt:

''Text kursiv''

<br>
<br><br>
<br>
<br>

== Link auf andere Wiki-Seite ==

<nowiki> [[ Titel der Seite | Text der dargestellt werden soll]] </nowiki>

'''Beispiel'''

<nowiki> [[ Lineare Optimierung | Hier lernst du die lineare Optimierung kennen]] </nowiki>

ergibt:

[[ Lineare Optimierung | Hier lernst du die lineare Optimierung kennen]]

<br>
<br><br>
<br>
<br>

== Link auf externe Seite ==

Schema:
<nowiki> [ URL ''Leertaste'' Text der dargestellt werden soll ] </nowiki>

'''Beispiel'''
<nowiki> [ http://marienberg.at/ Homepage des HLW Marienberg] </nowiki>

liefert

[http://marienberg.at/ Homepage des HLW Marienberg]

<br>
<br><br>
<br>
<br>

== Bild einfügen ==

<nowiki> [[Datei:Bsp-diffquotient.png]] </nowiki>

ergibt:

[[Datei:Bsp-diffquotient.png| Ein schönes Bild]]

und

<nowiki> [[Datei:Bsp-diffquotient.png|thumb|150|center|Ein schönes Bild]] </nowiki>

ergibt

[[Datei:Bsp-diffquotient.png|thumb|150|center|Ein schönes Bild]]

== Video einfügen ==

<nowiki> {{#ev:youtube|m8QvU2ezu48}} </nowiki>

ergibt

{{#ev:youtube|uQB7QRyF4p4}}

== Ausklappmenüs ==

{| border="1"
|-
|<nowiki> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px"> </nowiki>
<nowiki><span style="color:#A020F0></nowiki> '''Text der angezeigt werden soll''' <nowiki></span> </nowiki>

<nowiki><div class="mw-collapsible-content"> </nowiki>
'''
Text der nicht angezeigt werden soll'''

<nowiki></div> </nowiki>

<nowiki></div>
</nowiki>
|}

liefert

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Text der angezeigt werden soll </span>
<div class="mw-collapsible-content">
Text der nicht angezeigt werden soll
</div>
</div>

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:04:49Z

188.23.154.165: /* a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Musterbeispiele ==
* Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_12$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
* '''$i_m$''' heißt unterjähriger Zinssatz.
* Der Zinssatz '''$i=m\cdot i_m$''' heißt '''nomineller Jahreszinssatz''' oder '''Nominalzissatz'''
|}

Beispiel:
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$
Lösung: $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$
Antwort: Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich Verzinsung, so erhilete man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

===konformer Zinssatz ===

== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:04:33Z

188.23.154.165: /* a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Musterbeispiele ==
* Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_12$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
* '''$i_m$''' heißt unterjähriger Zinssatz.
* Der Zinssatz '''$i=m\cdot i_m$''' heißt '''nomineller Jahreszinssatz''' oder '''Nominalzissatz'''
|}

Beispiel:
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$
Lösung: $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrwo \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$
Antwort: Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich Verzinsung, so erhilete man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

===konformer Zinssatz ===

== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-02-08T13:03:54Z

188.23.154.165: /* = a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Dauer der Verzinsung
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
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| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

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!| Formel für die einfache Verzinsung
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| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

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|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
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!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

== Musterbeispiele ==
* Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_12$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz ===

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|'''Definition:'''
|
* '''$i_m$''' heißt unterjähriger Zinssatz.
* Der Zinssatz '''$i=m\cdot i_m$''' heißt '''nomineller Jahreszinssatz''' oder '''Nominalzissatz'''
|}

Beispiel:
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$
Lösung: $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrwot \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$$
Antwort: Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.

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|'''Merke:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich Verzinsung, so erhilete man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

===konformer Zinssatz ===

== nominelle und relative Verzinsung ==
== gemsichete Verzinsung ==

== äquivalenter Zinssatz ==

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721