Differenzen- und Differentialquotient

2014-01-12T13:37:16Z

188.22.28.112: /* Beispiele */

== Was lernst du hier ==
* Wie berechne ich die '''durschschnittliche Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der [[Sekante]].
* Wie berechne ich die '''momentane Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der [[Tangente]].

== Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)==
=== Definition ===
{| border ="1"
| '''Definition:'''
|-
| Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:
$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
wird als '''Differenzenquotient''' bezeichnet.
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Er gibt die durschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x|f(x)$ und $B=(f(x+\Delta x) | x+\Delta x )$ an.
| [[Datei:Diffquotient.png|thumb|500px| Der Differenzenquotient berechnet die Steigung der [[Sekante]] s.]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
* Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
* Der Name ''Differenzenquotient'' kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:
$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
* [[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen]]
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=== Video-Erklärung ===
{| border ="1" align="center"
!| Video zum Differenzenquotienten
|-
| Hinweise zum Video:
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
|-
|{{#ev:youtube|m8QvU2ezu48}}
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Bestimme mithilfe der Tabelle bei der Stelle [http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=m8QvU2ezu48#t=203 3:23min] eine [[Regression|quadratische Regression]], um die Gleichung der Parabel zu bestimmen. Achtung: x-Achse=Zeit und y-Achse=Weg (in der Tabelle ist es gerade umgekehrt!!)
# Berechne mithilfe der Lösung von 1., nach wie vielen Sekunden der Läufer 30m zurückgelegt hat.
# Begründe, warum bei der Lösung für 1. der konstante Term c bei der Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ annähernd den Wert 0 haben muss.
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|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:BspRegression.png|thumb|150px|right|Tabelle]]
# $y=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07$
# $20=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07 \rightarrow x=4.5 \textrm{Sekunden} $
# Der Sprinter startet aus dem Stehen, deshalb ist der Weg nach 0 Sekunden y(0)=0. Da die Punkte nicht alle genau auf einer Parabel liegen, erhält man bei der Regression einen kleinen "Fehler" (hier von -0.07)
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=== Beispiele ===
3. Klasse-Buch: S. 41
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== Der Differentialquotient (= momentane Steigung) ==
=== Definition ===
{| border ="1"
| '''Definition:'''
|-
| Die momentane Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle x
$$ {k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
wird als '''Differentialquotient''' bezeichnet.
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Er gibt die momentane Steigung der Sekante durch den Punkte $A=(x|f(x)$ an.
| [[Datei:Differentialquotient.png|thumb|450px| Der Differentialquotinet berechnet die Steigung der [[Tangente]] t.]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante immer mehr der Tangente nähert.
[[Datei:Difquotuebergang.gif]]
* [[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen]]
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=== Video-Erklärung ===

{| border ="1" align="center"
!| Video zum Differentialquotienten
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| Hinweise zum Video:
* Dieses Video ist die Fortsetzung des [[Differenzen- und Differentialquotient#Video-Erklärung | Video zum Differenzenquotienten]].
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
|-
|{{#ev:youtube|9PJT83cU7tA}}
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung f'(x) (=k) der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=2$.
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|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* 1. Bestimmen der momentanen Steigung $f'(x)$
$\begin{align}
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\
f'(x)=2\cdot x
\end{align}$
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[[Datei:Bsp-diffquotient.png|thumb|400px|right|Graphische Lösung der Aufgabe 2]]
*2. Bestimmen der momentanen Steigung bei x=2:
$$f'(x)=2x$$
$$f'(2)=2\cdot 2$$
$$f'(2)=4$$
Die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 beträgt 4.
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=== Musterbeispiele ===

=== Berechnung der 1. Ableitung mithilfe von Rechenregeln ===

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Differenzen- und Differentialquotient