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Gleichungssysteme (2.7.)

2013-10-06T12:49:52Z

188.22.26.71: /* Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) */

Definition:
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

Beispiel:
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

 
 
 
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =
'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
 

'''bei unserm Beispiel:''' Der Punkt (23|12) löst das Gleichungssystem
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

'''Begründung:''' Setze den Punkt (23|12) ) ein:
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35 \textrm{ wahre Aussage} $$
$$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94}}=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

 
 
== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
'''Methode:'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen Koeffizienten (Zahlen) vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[ lineare Gleichung | Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.

{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}

 
'''Beispiel:'''

1. Schritt:Umformen auf auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } |\cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

3. Schritt: Addiere oder Subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } |+\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

 
 
4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & |:2 \end{align}$
$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12|23) \} $

== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==
== Gleichsetzungsverfahren (Komparationsverfahren) ==
== Graphisches Verfahren ==
== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==

= Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =

Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.

Gleichungssysteme (2.7.)

2013-10-06T12:49:08Z

188.22.26.71: /* Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) */

Definition:
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

Beispiel:
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

 
 
 
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =
'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
 

'''bei unserm Beispiel:''' Der Punkt (23|12) löst das Gleichungssystem
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

'''Begründung:''' Setze den Punkt (23|12) ) ein:
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35 \textrm{ wahre Aussage} $$
$$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94}}=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

 
 
== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
'''Methode:'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen Koeffizienten (Zahlen) vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[ lineare Gleichung | Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.

{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}

 
'''Beispiel:'''

1. Schritt:Umformauf auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } |\cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

3. Schritt: Addiere oder Subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } |+\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

 
 
4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & |:2 \end{align}$
$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12|23) \} $

== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==
== Gleichsetzungsverfahren (Komparationsverfahren) ==
== Graphisches Verfahren ==
== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==

= Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =

Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.

Test

2013-10-06T12:44:30Z

188.22.26.71:

Kosinussatz:

 mit HTML: (im MediaWiki nicht möglich): 
<iframe width="640" height="360" src="//www.youtube.com/embed/mMatQ4OM8IU?feature=player_embedded" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

When <math><mi>a</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></math>,
there are two solutions to <math>
<mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo> <mi>b</mi><mi>x</mi>
<mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn>
</math> and they are
<math mode="display">
<mi>x</mi> <mo>=</mo>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mo>−</mo>
<mi>b</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
</msqrt>
</mrow>
<mrow> <mn>2</mn><mi>a</mi> </mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mtext>.</mtext>
</math>

Gleichungssysteme (2.7.)

2013-10-06T11:20:16Z

188.22.26.71: /* Gleichungssysteme mit 2 Variablen */

Definition:
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

Beispiel:
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

 
 
 
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =
'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
 

'''bei unserm Beispiel:''' Der Punkt (23|12) löst das Gleichungssystem
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

'''Begründung:''' Setze den Punkt (23|12) ) ein:
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35 \textrm{ wahre Aussage} $$
$$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94}}=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

 
 
== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
'''Methode:'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen Koeffizienten (Zahlen) vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[ lineare Gleichung | Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.

[Video]

 
'''Beispiel:'''

1. Schritt:Umformauf auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } |\cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

3. Schritt: Addiere oder Subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } |+\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

 
 
4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & |:2 \end{align}$
$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12|23) \} $

== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==
== Gleichsetzungsverfahren (Komparationsverfahren) ==
== Graphisches Verfahren ==
== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==

= Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =

Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.

Gleichungssysteme (2.7.)

2013-10-06T10:34:10Z

188.22.26.71: /* Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) */

Definition:
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

Beispiel:
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

 
 
 
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =
'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
 

'''bei unserm Beispiel:''' Der Punkt (23|12) löst das Gleichungssystem
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

'''Begründung:''' Setze den Punkt (23|12) ) ein:
$$ I: 23+12=35 \textrm{ wahre Aussage} $$
$$ II: 2\cdot 23+4\cdot 12=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

 
 
== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
'''Methode:'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen Koeffizienten (Zahlen) vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[ lineare Gleichung | Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.

[Video]

 
'''Beispiel:'''

1. Schritt:Umformauf auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } |\cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

3. Schritt: Addiere oder Subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } |+\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

 
 
4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & |:2 \end{align}$
$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12|23) \} $

== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==
== Gleichsetzungsverfahren (Komparationsverfahren) ==
== Graphisches Verfahren ==
== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==

= Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =

Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.

Gleichungssysteme (2.7.)

2013-10-06T10:13:07Z

188.22.26.71: /* Gleichungssysteme mit 2 Variablen */

Definition:
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

Beispiel:
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

 
 
 
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =
'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
 

'''bei unserm Beispiel:''' Der Punkt (23|12) löst das Gleichungssystem
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$

'''Begründung:''' Setze den Punkt (23|12) ) ein:
$$ I: 23+12=35 \textrm{ wahre Aussage} $$
$$ II: 2\cdot 23+4\cdot 12=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

 
 
== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
'''Methode:'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen Koeffizienten (Zahlen) vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.
# [[ lineare Gleichung | Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.

[Video]

 
'''Beispiel:'''

1. Schritt: $ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } |\cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

1. Schritt: $ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } |\cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

2. Schritt: $ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } |+\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

 
 
3. Schritt: $ \begin{align} 2x&+&0&=24 & |:2 \end{align}$

4. Schritt: $ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$$ 12+y=35 \Rightarrow y=23 $$
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \left{ 12|23\right} $

== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==
== Gleichsetzungsverfahren (Komparationsverfahren) ==
== Graphisches Verfahren ==
== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==

= Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =

Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.