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Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln

2014-11-01T15:28:47Z

188.22.24.205: /* Beispiele */

Im Folgenden beschäftigen wir uns mit "mehrstufigen Zufallsexperimenten". Dies sind Experimente, die mehrmals ausgeführt werden.

Beispiele:
* Mehrere Würfe mit einem Würfel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwei 6er hintereinander zu würfeln?
* Mehrere Kugeln aus einer Urne blind ziehen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 rote und 2 gelbe zu ziehen?

== Baumdiagramme ==
Um mehrstufige Zufallsexperimente darzustellen, verwendet man Baumdiagramme.

Bild (Stamm, Blätter)

== Pfadregeln ==

== Beispiele ==

{{#ev:youtube|J8UEX5X7qQo}}

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln

2014-11-01T15:28:20Z

188.22.24.205:

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-01T15:27:59Z

188.22.24.205:

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu Würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) von einer 3''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

 
 
 

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

 
 
 
 

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

 
 
 
 
== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).
$$P(\Omega)=1$$
wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

}}
Nun zu folgendem Beispiel:
{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$ Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
#.Variante:
$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Urne mit 20 Kugeln sind 5 blau, 3 rot, 7 gelb und 5 grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine blaue Kugel zu ziehen?
|2=
$$P(nicht\ blau)=1-P(blau)=1-\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%$$
}}

 
 
 
 

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

'''Beispiel:''' Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

'''Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen''': $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).
 
 
Nun zur
{{Vorlage:Merke|1='''Additionsregel ("Oder"-Regel)'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
("''Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$''") }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cup 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Wichtiger Hinweis''' 

<div class="mw-collapsible-content"> Die Eigenschaft, dass die Ereignisse unvereinbar sein müssen, ist wichtig! Nehmen wir z.B. zwei Ereignisse, die nicht unvereinbar sind:
* $E=$"man würfelt eine 2" und
* $F=$"man würfelt eine gerade Zahl" (d.h. 2, 4 oder 6)

$E$ und $F$ sind nicht unvereinbar, denn $P(E\cap F)=P(2er\ und \ gerade)=P(2er)=\frac{1}{6}$.

Dann gilt selbstverständlich $P(E)=\frac{1}{6}$ und $P(F)=\frac{3}{6}$ aber für die Wahrscheinlichkeit, eine 2 ODER eine gerade Zahl zu würfeln gilt:
$$\underbrace{P(E\cup F)}_{\frac{3}{6}}\ne \underbrace{P(E)+P(F)}_{\frac{1}{6}+\frac{3}{6}}$$
Da die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu Würfeln nur $\frac{3}{6}$ ist.

</div>

</div>

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammenauftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die W., dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine 6 und anschließend eine 3 gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E=$ "zuerst eine 6" und $F=$ "dann eine 3") sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}
 
 
 
 

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-01T15:27:12Z

188.22.24.205: /* Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel */

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu Würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) von einer 3''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

 
 
 

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

 
 
 
 

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

 
 
 
 
== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).
$$P(\Omega)=1$$
wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

}}
Nun zu folgendem Beispiel:
{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$ Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
#.Variante:
$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Urne mit 20 Kugeln sind 5 blau, 3 rot, 7 gelb und 5 grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine blaue Kugel zu ziehen?
|2=
$$P(nicht\ blau)=1-P(blau)=1-\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%$$
}}

 
 
 
 

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

'''Beispiel:''' Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

'''Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen''': $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).
 
 
Nun zur
{{Vorlage:Merke|1='''Additionsregel ("Oder"-Regel)'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
("''Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$''") }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cup 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Wichtiger Hinweis''' 

<div class="mw-collapsible-content"> Die Eigenschaft, dass die Ereignisse unvereinbar sein müssen, ist wichtig! Nehmen wir z.B. zwei Ereignisse, die nicht unvereinbar sind:
* $E=$"man würfelt eine 2" und
* $F=$"man würfelt eine gerade Zahl" (d.h. 2, 4 oder 6)

$E$ und $F$ sind nicht unvereinbar, denn $P(E\cap F)=P(2er\ und \ gerade)=P(2er)=\frac{1}{6}$.

Dann gilt selbstverständlich $P(E)=\frac{1}{6}$ und $P(F)=\frac{3}{6}$ aber für die Wahrscheinlichkeit, eine 2 ODER eine gerade Zahl zu würfeln gilt:
$$\underbrace{P(E\cup F)}_{\frac{3}{6}}\ne \underbrace{P(E)+P(F)}_{\frac{1}{6}+\frac{3}{6}}$$
Da die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu Würfeln nur $\frac{3}{6}$ ist.

</div>

</div>

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammenauftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die W., dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine 6 und anschließend eine 3 gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E=$ "zuerst eine 6" und $F=$ "dann eine 3") sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}
 
 
 
 

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeit]]

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-01T15:26:10Z

188.22.24.205: /* Additionsregel ("ODER"-Regel) */

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-01T15:02:33Z

188.22.24.205: /* Additionsregel ("ODER"-Regel) */

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu Würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) von einer 3''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

 
 
 

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

 
 
 
 

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

 
 
 
 
== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).
$$P(\Omega)=1$$
wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

}}
Nun zu folgendem Beispiel:
{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$ Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
#.Variante:
$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Urne mit 20 Kugeln sind 5 blau, 3 rot, 7 gelb und 5 grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine blaue Kugel zu ziehen?
|2=
$$P(nicht\ blau)=1-P(blau)=1-\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%$$
}}

 
 
 
 

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

'''Beispiel:''' Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

'''Beispiel''' mit nicht unvereinbaren Ereignissen: $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).
 
 
Nun zur
{{Vorlage:Merke|1='''Additionsregel ("Oder"-Regel)'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
("''Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$''") }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cup 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammenauftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die W., dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine 6 und anschließend eine 3 gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E=$ "zuerst eine 6" und $F=$ "dann eine 3") sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}
 
 
 
 

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-01T15:02:02Z

188.22.24.205: /* Additionsregel ("ODER"-Regel) */

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu Würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) von einer 3''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

 
 
 

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

 
 
 
 

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

 
 
 
 
== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).
$$P(\Omega)=1$$
wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

}}
Nun zu folgendem Beispiel:
{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$ Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
#.Variante:
$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Urne mit 20 Kugeln sind 5 blau, 3 rot, 7 gelb und 5 grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine blaue Kugel zu ziehen?
|2=
$$P(nicht\ blau)=1-P(blau)=1-\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%$$
}}

 
 
 
 

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

'''Beispiel:''' Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

'''Beispiel''' mit nicht unvereinbaren Ereignissen: $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).
 
 
Nun zur
{{Vorlage:Merke|1='''Additionsregel ("Und"-Regel)'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
("''Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$''") }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cup 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammenauftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die W., dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine 6 und anschließend eine 3 gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E=$ "zuerst eine 6" und $F=$ "dann eine 3") sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}
 
 
 
 

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-01T14:57:21Z

188.22.24.205: /* Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon */

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu Würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) von einer 3''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

 
 
 

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

 
 
 
 

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

 
 
 
 
== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).
$$P(\Omega)=1$$
wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

}}
Nun zu folgendem Beispiel:
{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$ Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
#.Variante:
$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Urne mit 20 Kugeln sind 5 blau, 3 rot, 7 gelb und 5 grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine blaue Kugel zu ziehen?
|2=
$$P(nicht\ blau)=1-P(blau)=1-\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%$$
}}

 
 
 
 

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cup$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

Beispiel: Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen: $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).

'''Nun zur Additionsregel'''
{{Vorlage:Merke|1=Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
(Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cap$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$) }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cap 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammenauftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die W., dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine 6 und anschließend eine 3 gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E=$ "zuerst eine 6" und $F=$ "dann eine 3") sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}
 
 
 
 

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-01T14:56:42Z

188.22.24.205: /* Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon */

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu Würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) von einer 3''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

 
 
 

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

 
 
 
 

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

 
 
 
 
== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).
$$P(\Omega)=1$$
wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

}}
Nun zu folgendem Beispiel:
{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$ Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
#.Variante:
$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Urne mit 20 Kugeln sind 5 blau, 3 rot, 7 gelb und 5 grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine blaue Kugel zu ziehen?
|2=
$$P(nicht\ blau)=1-P(blau)=1-\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%$$
}}

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cup$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

Beispiel: Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen: $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).

'''Nun zur Additionsregel'''
{{Vorlage:Merke|1=Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
(Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cap$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$) }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cap 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammenauftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die W., dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine 6 und anschließend eine 3 gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E=$ "zuerst eine 6" und $F=$ "dann eine 3") sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-01T14:40:28Z

188.22.24.205: /* Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse */

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu Würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) von einer 3''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

 
 
 

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

 
 
 
 

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

 
 
 
 
== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).
$$P(\Omega)=1$$
wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

}}
Nun zu folgendem Beispiel:
{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$ Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
#.Variante:
$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cup$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

Beispiel: Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen: $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).

'''Nun zur Additionsregel'''
{{Vorlage:Merke|1=Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
(Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cap$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$) }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cap 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammenauftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die W., dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine 6 und anschließend eine 3 gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E=$ "zuerst eine 6" und $F=$ "dann eine 3") sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-01T14:37:12Z

188.22.24.205: /* Multiplikationsregel ("UND"-Regel) */

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu Würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) von einer 3''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

 
 
 

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

 
 
 
 

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

 
 
 
 
== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
$$P(\Omega)=1$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).

$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$
Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alles infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit
#. $$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cup$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

Beispiel: Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen: $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).

'''Nun zur Additionsregel'''
{{Vorlage:Merke|1=Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
(Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cap$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$) }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cap 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammenauftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die W., dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine 6 und anschließend eine 3 gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E=$ "zuerst eine 6" und $F=$ "dann eine 3") sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-01T14:30:10Z

188.22.24.205: /* Additionsregel ("ODER"-Regel) */

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu Würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) von einer 3''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

 
 
 

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

 
 
 
 

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

 
 
 
 
== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
$$P(\Omega)=1$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).

$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$
Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alles infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit
#. $$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cup$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

Beispiel: Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen: $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).

'''Nun zur Additionsregel'''
{{Vorlage:Merke|1=Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
(Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cap$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$) }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cap 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.
Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam). }}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-01T14:29:44Z

188.22.24.205: /* Additionsregel ("ODER"-Regel) */

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu Würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) von einer 3''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

 
 
 

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

 
 
 
 

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

 
 
 
 
== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
$$P(\Omega)=1$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).

$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$
Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alles infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit
#. $$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cup$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

Beispiel: Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen: $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).

'''Nun zur Additionsregel'''
{{Vorlage:Merke|1=Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
(Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cap$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$) }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$ sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cap 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.
Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam). }}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.