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Schuldentilgung

2014-04-15T15:44:19Z

188.22.20.40: /* 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== 1. Beispiel: Jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T15:20:25Z

188.22.20.40: /* 1. Beispiel: Jährliche Zahlungen */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== 1. Beispiel: Jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.
a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle Sie den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf.

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T15:20:07Z

188.22.20.40: /* Musterbeispiele */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== 1. Beispiel: Jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.
a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle Sie den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf.

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T15:15:36Z

188.22.20.40: /* Musterbeispiele */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

1. Beispiel: Jährliche Zahlungen
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.
a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

2. Beispiel: Monatliche Zahlungen
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.
a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T14:36:32Z

188.22.20.40: /* Musterbeispiel */