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Rentenrechnung

2014-03-24T19:31:26Z

188.22.20.226: /* Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
*<p style="background-color:#E0E0E0"> in gleichen Zeitabständen </p> UND
*<p style="background-color:#E0E0E0"> immer in gleicher Höhe </p>
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt der Einzahlung </p> || '''vorschüssig'''
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| '''nachschüssig'''
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt des Gesamtwertes </p>
|'''[[Barwert und Endwert|Barwert]]'''
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|'''[[Barwert und Endwert|Endwert]]'''
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Einzahlungsperiode </p>
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz |äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren (ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]]. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\%$ <br> $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\
\rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) <br> <br> [[Datei:Rentenrechnung3.png|center]]
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ <br>
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

</div>

</div>

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Aufzinsungsfaktor |Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
<br>
<br>
<br>
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot r\cdot\frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$

|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$

|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formeln''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$
Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann erhält man den Endwert, indem man alle Einzahlung auf das Ende verzinst und dann zusammenaddiert:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Dies ist nun eine sogenannte geometrische Reihe, da jeder Summand sich nur durch die Multiplikation mit r unterscheidet.
Unter folgendem Link findest du die Herleitung der für die geometrische Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

</div>

</div>

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Angabe:''' Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1.000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme den nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die [[KESt]] von 25%.

b)Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung a)'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">
* $R=1000$
* $i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
* $n=15$
* vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
* $E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir:
$$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$
$$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$
$$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Der Satz "''die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen''" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg):
$$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$
$$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$
$$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben.
Das Angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert ''am ANFANG'' der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$, der neue Barwert.

*$B=E_{20}=22208.07$
*$n=20$
*$r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
*$R=?$
*vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir:
$$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$
$$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$
$$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R $$
$$ \frac{22208.07\cdot (0.97087-1)}{(0.97087^{20}-1)}=R $$
$$ \underline{\underline{1449.25=R}}$$

Antwort: Frau Aah kann 20 Jahre lang € 1449.25 abheben.

FN (N =20, I% = 4, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn)

</div>

</div>

</div>

</div>

== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Angabe:''' Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in
nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.
<br> </span>

<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
*$B=15000$
*$n=10\cdot 12=120$
*$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
*nachschüssig
*$R=$?

Durch Verwendung der [[Rentenrechnung#Formeln |nachschüssigen Barwertformel]] ergibt sich:

$\begin{align}
B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} :(v\cdot (v^{120}-1))\\
\end{align}$

$\begin{align}
\frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\
\end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29
Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1!
(Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

</div>

</div>

== TVM-Solver (Rechnen im TR) ==

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine [http://matura.marienberg.at/images/3/33/TVM-Solver.pdf Erklärung des Programms]

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<br>

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen)

2014-03-24T19:30:30Z

188.22.20.226: /* Musterbeispiel */

Das Äquivalenzprinzip ist wichtig, wenn unterschiedliche Einzahlungen verglichen werden müssen, um beispielsweise zu entscheiden, welche Zahlung die bessere ist.

{| border="1"
|-
!|Definition
|Das Äqivalenzprinzip der Mathematik besagt:

'' '''"Zahlungen dürfen nur dann verglichen/addiert/subtrahiert werden,
wenn sie zuvor auf denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden." ''' ''
<br>

|}
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== Musterbeispiel ==

Für ein Grundstück erhält Elizabeth Reichgut zwei Angebote für ein zum Verkauf stehendes Grundstück:

# Andreas Ohneland (A) bezahlt € 200'000 sofort und € 200'000 nach 3 Jahren.
# Bernhard Grundlos (B) bezahlt € 195'000 nach einem Jahr und € 205'000 nach zwei Jahren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Frage''': Für weches Angebot soll sie sich entscheiden, wenn von einem Zinssatz von $i_{eff}=4$% p.a. ausgangen werden kann? </span>

<div class="mw-collapsible-content">

''' Antwort''': Auf den ersten Blick wirken beide Angebote gleich gut, da beide insgesamt € 400'000 überweisen. Allerdings kommen nicht alle Einzahlungen zum selben Zeitpunkt, weswegen sie auch anders verzinst werden.
[[Datei:Aequivalenzp1.png|thumb|center|320px|In der Abbildung sind die Zahlungen an einem Zahlenstrahl angeordet]]
Laut dem Äquivalenzprinzip müssen wir die Einzahlungen zuerst auf denselben Stichtag auf- oder abzinsen, um sie zu vergleichen. Hier gibt es zwei sinnvolle Möglichkeiten:
* Abzinsen auf den Beginn (Berechnung des Barwertes $B$)
* Aufzinsen auf das 3. Jahr (Berechnung des Endwertes $E$)

Der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Aufzinsungsfaktor | Aufzinungsfaktor r]] beträgt $r=1.04$ (da $i_{eff}=4$ und $r=1+\frac{i_{eff}}{100}$ )

Zur Verdeutlichung wird bei diesem Beispiel sowohl der Barwert, als auch der Endwert berechnet. Selbstverständlich würde es reichen, wenn nur eines von beiden berechnet wird:

{| align="center"
|-
|
{| border="1"
!| Berechnung des Barwerts
!| Berechnung des Endwerts
|-
|
Wir zinsen alle Einzahlungen zum Beginn ab (d.h. dividieren mit dem Abzinsungsfaktor):
[[Datei:Aequivalenzprinzip-barwert.png|thumb|center|300px|Berechnung des Barwertes]]

* Angebot A: $B_A=200000+\frac{200000}{r^3}=377'799,27$
* Angebot B: $B_B=\frac{195000}{r}+\frac{205000}{r^2}=377'034,02$

'''Antwort''' Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).

|
Wir zinsen alle Einzahlungen zum Ende auf (d.h. multiplizieren mit dem Aufzinsungsfaktor):
[[Datei:Aequivalenzprinzip-endwert.png|thumb|center|320px|Berechnung des Endwertes]]

* Angebot A: $E_A=200000\cdot r^3+200000=424'972,80 $
* Angebot B: $E_B=195000\cdot r^2+205000\cdot r=424'112,00 $

'''Antwort''' Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).
<br>
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|}

|-
!|In beiden Fällen (sowohl beim Barwert, als auch beim Endwert) ist das Angebot A besser!
|}

</div>
</div>

<br>
<br>
{| border="1" align="center"
|-
!| Merke
| Beim Äquivalenzprinzip ist es egal, ob du den Barwert oder den Endwert berechnest oder gar auf einen anderen Stichtag verzinst. Das bessere Angebot wird jedesmal besser sein, zu jedem Zeitpunkt!
|}

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<br>

== Maturabeispiele ==

1. Für ein Grundstück werden zwei Angebote vorgelegt:

A: 50‘000 sofort, 30‘000 nach 7 Jahren.

B: 40‘000 nach 3 Jahren und 45‘000 nach 6 Jahren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> a) Berechne, welches Angebot bei einer Verzinsung von 2% p.a. besser ist. </span>
<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:'''

$r=1+\frac{2}{100}=1.02$

A: $50000\cdot 7 + 30000=87‘434.28$

B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 89‘197.28$

'''Antwort:''' Angebot B ist bei einer Verzinsung von 2% somit besser.

</div>
</div>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> b) Berechne, welches Angebot bei einer Verzinsung von 4% p.a. besser ist.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:'''

$r=1+\frac{4}{100}=1.04$

A: $50000\cdot 7 + 30000=95‘796.59$

B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 93‘594.34$

'''Antwort:''' Angebot A ist bei einer Verzinsung von 4% besser.

</div>
</div>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> c) Berechne, bei welchem Zinssatz beide Angebote gleichwertig sind.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''

Hier muss Berechnet werden, wann ist
$$\textrm{Wert von Angebot A}=\textrm{Wert von Angebot B}$$
$$ 50000\cdot r^7 + 30000 = 40000\cdot r^4+45000\cdot r $$

Nun muss r berechnet werden. Diese Gleichung löst man am besten mit dem [[Solve-Befehl]], wo wir annehmen können, dass $r$ zwischen 1.02 und 1.04 liegt (siehe Lösungen a) und b) ).

Man erhält: $r=1.0294$ und somit ist $i=2.94$%.

'''Antwort:''' Bei einem Zinssatz von 2.94% sind beide Angebote gleichwertig.
</div>
</div>

[[Kategorie:Finanzmathematik]]