Trigonometrie (2.12 und 3.10)

2014-07-11T15:54:13Z

188.22.18.146: /* Übungen im Rechtwinkligen Dreieck */

In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)

Die folgende Seite ist in 4 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
# [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck]]: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen.
# [[#Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis | Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis]]: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
# [[#Trigonometrische Funktionen | Trigonometrische Funktionen]]: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und Tangensfunktion kennen.
# [[#Das allgemeine Dreieck | Das allgemeine Dreieck]], indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, zu rechnen.

Die letzten beiden Kapitel bestehen einer [[#Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck | Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln]] und [[#Beispiele | Übungsbeispielen]]

== Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck ==

=== Begriffe ===
[[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|350px|rechtwinkliges Dreieck]]

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (Dreieck mit einem 90°-Winkel), bestehend aus der '''Hypotenuse''' (=längste Seite des rechtw. Dreiecks) und den beiden '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
* die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
* die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
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=== Sinus, Cosinus und Tangens ===

{| border ="1"

| '''Definition'''

|<p style="background-color:#E0E0E0">

{|
|* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
|$sin\ \alpha = \frac{GK}{H}$
|-
|* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
|$cos\ \alpha = \frac{AK}{H}$
|-
|* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK
|$tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}$
|}
</p>
|}

Das besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
:[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].

'''Wichtig!'''
Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!

Hier noch Aufgaben
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=== Steigung und Steigungswinkel ===
[[Datei:Steigung11.png|thumb|right|450px|Steigung und Steigungswinkel]]
Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
Somit erhalten wir die Formel:

{| border="1" align="center"
| $$k=\tan \alpha$$
|}
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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Musterbeispiel </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.

- Bestimmen Sie
* a) den Steigungswinkel
* b) die prozentuelle Steigung

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]

$\alpha = 8.05°$

b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
$$k=\ tan\ \alpha$$
$$k=\tan \ 8.05°$$
$$k=0.14=14 \ \%$$
A: Die Steigung beträgt 14 %.

</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Übungen im Rechtwinkligen Dreieck ===

* [http://www.mathe-online.at/tests/wfun/defWfun.html Online-Übung zur Überprüfung, ob die richtige Formel verwendet wurde]

* [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html Weitere Übung zur Überprüfung der Formel]

* [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html Und noch eine Übung dazu]

== Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis ==
=== Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===

[[Datei:Winkel- und Bogenmaß1.png|thumb|right|500px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]

Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit Radius r=1 cm. Sein Umfang beträgt
$$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$

Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:

'''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''

So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.

* Eine volle Umdrehung hat 360°
* Eine halbe Umdrehung hat 180°

'''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''

Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens b (siehe Skizze) bestimmt werden.

* Bei einer vollen Umdrehung hat b die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
* Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.

{| align="center"
[http://www.geogebratube.org/student/m133394 Hier findest du ein Arbeitsblatt], das dir den Zusammenhang besser erklärt.
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
{|
| Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
|-
| $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.
|}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll

a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.

b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Grad- in Bogenmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$

A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$

b) Bogen- in Gradmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
$$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$

A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===

====Theorie====
Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:

[[Datei:Sinus und Kosinus und Tangens im Einheitskreis1.png|thumb|right|500px|Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis]]

Dabei gilt:
* Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Tangens entspricht der Länge des [[Tangente | Tangentenabschnittes]].

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Begründung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Sinus:'''
Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die $\color{\textrm{rote Strecke}}{GK}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete $\color{red}{GK}$.

Zu zeigen ist nun:
$$\sin \ \alpha=\color{red}{GK}$$

'''Beweis:'''
$$\sin\ \alpha=\frac{\color{red}{GK}}{H}=\frac{\color{red}{GK}}{1}=\color{red}{GK}$$
$$\sin\ \alpha=\color{red}{GK}$$

Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.

</div>

</div>

Mit dem folgenden [http://www.geogebratube.org/student/m133494 Arbeitsblatt] kannst du dein Verständnis vertiefen.

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====Wichtige Werte====
Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das [http://www.geogebratube.org/student/m133494 obige Arbeitsblatt] sollte dir dabei helfen:

{| border="1" align="center"
|
| Sinus
| Cosinus
| Tangens
|-
| Gradmaß: 90°
Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad
| 1
| 0
| nicht definiert
|-
| 180°
$\pi$ rad
| 0
| -1
| 0
|-
| 270°
$\frac{3\pi}{2}$ rad
| -1
| 0
| nicht definiert
|-
| 0° und 360°
0 rad und $2\pi$ rad
| 0
| 1
| 0
|}

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== Trigonometrische Funktionen ==

=== Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$ ===
Stellt man nun den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:

[[Datei:Sinusfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

{| border="1"
| <p style="background-color:#8EE5EE"> Erklärung:
</p>
| In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m133564 Arbeitsblatt]findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die Graphen kommt.
|}

===Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$ ===
Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Cosfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

===Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$ ===
Der graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Tangensfkt1.png|thumb|center|700px|Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

# Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
# Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die [[Wertemenge]] $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Betrag]] verwendet.)
# Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
# Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Wichtige Werte | Tabelle zum Einheitskreis]] herausgelesen werden.
</div>

</div>
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== Das allgemeine Dreieck ==
[[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]

Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.

Ohne rechten Winkel können wir die [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens]] nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:
a) den Sinussatz
b) den Cosinussatz und
c) die allgemeinen Flächenformeln

Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechtenwinkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).

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=== Sinussatz ===
Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck
1. Eine Seite und
2. der gegenüberliegende Winkel und
3. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.

{| border="1" align="center"
| '''Formel für den Sinussatz'''
|-
| $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$
|}

Das folgende Video zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes:

{| align="center"
|{{#ev:youtube|Mvm69Wj8doo}}
|}

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=== Cosinussatz ===

{| border="1" align="center"
!| Formeln für den Cosinussatz
|-
|
* $$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\ \alpha$$
* $$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\ \beta$$
* $$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\ \gamma$$
|}

Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:

: a) alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will oder

: b) 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist.

{| border="1" align="center"
!| Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.

:: <span style="color:red"> gegebene Größen </span>
:: <span style="color:blue"> berechenbare Größen </span>
|-
|
{| align="center"
| [[Datei:Cosinussatz1.png|thumb|300px|Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden]]
| [[Datei:Cosinussatz2.png|thumb|300px|Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden]]
|}
|}

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== Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ==
{| border="1" align="center"
|-
|
| rechtwinkliges Dreieck
| allgemeines Dreieck

|-
| Winkelsumme
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
|-
| Pythagoras
| $H^2=GK^2+AK^2$
| gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
|-
| Flächeninhalt
| $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
| $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
|
| $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
|
| $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
|}

== Beispiele ==

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm.pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
: Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
: Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
: Siehe auch [[Lineare Funktionen]]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
: Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch
: * [[Beschreibende Statistik]]
: * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
: '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]

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