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Ableitung bestimmen

2014-09-28T16:51:37Z

188.22.17.229: /* Kettenregel */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|450px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
=== Grundlegende Regeln ===

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Ableitung bestimmen

2014-09-28T16:47:51Z

188.22.17.229: /* Kettenregel */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|450px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
=== Grundlegende Regeln ===

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=\frac{2x\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} }{3}$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1}
}}

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Ableitung bestimmen

2014-09-28T16:45:51Z

188.22.17.229: /* Kettenregel */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|450px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
=== Grundlegende Regeln ===

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
}}

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Ableitung bestimmen

2014-09-28T16:41:50Z

188.22.17.229: /* Matura-Aufgaben */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|450px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
=== Grundlegende Regeln ===

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{x^2-1}$
|2=
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1 \ \rightarrow g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Ableitung bestimmen

2014-09-28T16:38:31Z

188.22.17.229: /* Kettenregel */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|450px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
=== Grundlegende Regeln ===

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
}}

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

TeX-Befehle

2014-09-28T16:37:25Z

188.22.17.229:

{| cellpadding="20" class="wikitable"
|$\cdot$ || \cdot
|-
|$ \frac{x}{y}$ || \frac{x}{y}
|-
|$\sum_{x=1}^{n} n$ || \sum_{x=1}^{n}
|-
|$ \prod^{x=1}_{n} $ || \prod^{x=1}_{n}
|-
|$\int_a^b$ || \int_{a}^{b} f (x)\,dx
|-
|$\vert _a^b$ || \vert_{a}^{b}
|-
|$ \frac{\partial x}{\partial y}$ || \frac{\partial x}{\partial y}
|-
|$ \sqrt x$ || \sqrt{x}
|-
|$ \sqrt[3]{x}$ || \sqrt[3]{x}
|-
|$ f(x)$ || f(x)
|-
|$\lim_{x\to\infty} $ || \lim_{x\to\infty}
|-
| $***$ || ***
|-
|$\sin$ || \sin (x)
|-
|$\cos$ || \cos (x)
|-
|$\tan$ || \tan (x)
|-
|$\log$ || \log (x)
|-
|$\ln$ || \ln (x)
|-
| $***$ || ***
|-
|$\le$ || \le
|-
|$\ge$ || \ge
|-
|$\neq$ || \neq
|-
|$\approx$ || \approx
|-
|$\equiv$ || \equiv
|-
|$\propto$ || \propto
|-
|$\infty$ || \infty
|-
| $***$ || ***
|-
|$\alpha$ || \alpha
|-
|$\beta$ || \beta
|-
|$\vartheta$ || \vartheta
|-
|$\lambda$ || \lambda
|-
|$\pi$ || \pi
|-
| *** || ***
|-
|$\Rightarrow$ || \Rightarrow
|-
|$\rightarrow$ || \rightarrow
|-
|$\Leftarrow$ || \Leftarrow
|-
|$\leftarrow$ || \leftarrow
|-
|$\Leftrightarrow$ || \Leftrightarrow
|-
|$\vec{x}$ || \vec{x}
|-
|${n \choose k}$ || {n \choose k}
|-
| *** || ***
|-
|$\Box$ || \Box
|-
|$\forall$ || \forall
|-
|$\exists$ || \exists
|-
|$\in$ || \in
|-
|$\not\in$ || \not\in
|-
|$\color{red}{x+y}$ || \color{red}[x+y}
|}

TeX-Befehle

2014-09-28T16:34:06Z

188.22.17.229:

Ableitung bestimmen

2014-09-28T16:18:26Z

188.22.17.229: /* Kettenregel */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|450px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
=== Grundlegende Regeln ===

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $\e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3}}$

Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3}} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
}}

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Ableitung bestimmen

2014-09-28T16:01:59Z

188.22.17.229: /* Produktregel */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|450px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
=== Grundlegende Regeln ===

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

=== Kettenregel ===

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Ableitung bestimmen

2014-09-28T15:53:01Z

188.22.17.229: /* Produktregel */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|450px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
=== Grundlegende Regeln ===

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen ($(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel') kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte '''Produktregel''':

{{Vorlage:Merke|1= $$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
Zuerst den ersten[[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textnormal{Plus}
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten. }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underline{(x^2-1)_{f(x)} \cdot \underline{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underline{2x}_{f'(x)}\cdot \underline{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underline{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underline{(6x-4)}_{g'(x)}$$

=== Quotientenregel ===

=== Kettenregel ===

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]