Matura Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Funktionen

2014-10-03T14:21:46Z

178.190.141.223: /* Definition: Was ist eine Funktion und was ist keine Funktion */

Diese Seite handelt von der Definition und den grundlegenden Eigenschaften von Funktionen. Auf anderen Seiten werden wichtige Funktiontypen genauer behandelt:
* [[Lineare Funktionen]]
* [[Potenz- und Polynomfunktionen]]
*:[[Quadratische Funktionen]]
*: [[Kubische Funktionen]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]]
* [[Proportionalit|Direkte und indirekte Proportion]]
== Überblick ==
<mm> [[Funktionen-MindMap.mm|flash|300px|title Alle Aspekte der Funktionen von der 1. bis zur 5. Klasse|parameters startCollapsedToLevel=1]] </mm>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">


'''Wie funktioniert dieses Mindmap:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
* Klicke auf die einzelnen Knoten, um diese noch weiter aufzuklappen. Befindet sich am Ende einer Linie ein weißer Punkt, so kann noch eine weitere Ebene aufgeklappt werden.
* Klicke auf die roten Pfeile, um auf die entsprechenden Wiki-Seiten zu kommen.
* Die Zahlen geben dir Auskunft, in welcher Klasse du das erste Mal von diesem Thema etwas hörst.
</div>

</div>
 
 
 
 
 

== Definition: Was ist eine Funktion und was ist keine Funktion == 


== Eigenschaften von Funktionen ==

== Übungen ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Übung, in der du lernst [http://www.geogebratube.org/student/m82256 Funktionsgleichung anhand gegebener Punkte berechnen]
: Hierfür musst du [[Gleichungssysteme (2.7.) | Gleichungssysteme]] lösen.

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Aufgabe von echteinfach.tv, in der du [http://www.echteinfach.tv/mathe-spiele/funktionen-quiz Funktionsgleichungen den jeweiligen Graphen zuordnest]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke] (bifie-Aufgabe)

== Matura-Aufgaben==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne] (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Rechnen mit Termen(2.1.)|Rechnen mit Termen]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=95&file=Elektrischer_Widerstand_eines_Drahtes.pdf Elektrischer Widerstand] (Bifie-Aufgabe: leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Rechnen mit Termen(2.1.)|Rechnen mit Termen]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]] sowie [[Formeln]] und für d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]]

Grundkompetenzen Teil A

2014-10-03T13:43:26Z

178.190.141.223:

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen des gemeinsamen Teils (Teil A) auf. Für jene Kompetenzen, die in allen HLWs zusätzlich noch verlangt werden, klicke auf [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6]]

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 5 Inhaltsbereiche gegliedert:

== Zahlen und Maße ==

{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|1.1.
| mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen rechnen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der Zahlengeraden veranschaulichen
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| Theorie]]
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)#Beispiele Zahlenmengen (1.1.) | Beispiele]]
|-
|1.2.
| Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung in der Form $\pm a\cdot 10^{k} $ mit <math> 1 \leq a < 10 \textrm{und} a \in \mathbb{R} ,\ k \in \mathbb{Z} </math> darstellen und damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3) | Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Beispiele]]
|-
|1.3.
| Vielfache und Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen (Nano bis Tera); Größen als Maßzahl mal Maßeinheit darstellen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Beispiele]]
|-
|1.4.
| überschlagsrechnen und runden, Ergebnisse beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in
kontextbezogener Genauigkeit angeben
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Theorie]]
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.)#Beispiele Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Beispiele]]
|-
|1.5.
| Zahlenangaben in Prozent und Promille im Kontext anwenden und mit Prozentsätzen und
Promillesätzen rechnen
| [[Prozentrechnung (1.5.) | Theorie]]
| [[Prozentrechnung (1.5.)#Beispiele Prozentrechnung (1.5.) | Beispiele]]
|-
|1.6.
| den Betrag einer Zahl verstehen und anwenden
| [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Theorie]]
| [[Betrag einer Zahl (1.6.)#Beispiele Betrag (1.6.) | Beispiele]]
|}
 
 
== Algebra und Geometrie ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|2.1.
| Rechnen mit Termen
| [[Rechnen mit Termen(2.1.)| Theorie]]
| [[Rechnen mit Termen (2.1.)#Beispiele (2.1.) | Beispiele]]
|-
|2.2.
| Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten anwenden;
Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen
| [[Potenzen (2.2.) | Theorie]]
| [[Potenzen (2.2.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.3.
| Rechengesetze für Logarithmen anwenden
| [[Der Logarithmus (2.3.)| Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.4.
| lineare Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen, die Lösungen
interpretieren und argumentieren
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) | Theorie]]
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) #Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.5.
| Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen, begründen und interpretiere
| [[Formeln | Theorie]]
| [[Formeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.6.
| eine Formel nach einer der variablen Größen umformen und die gegenseitige Abhängigkeit
der Größen in einer Formel interpretieren und erklären
| [[Formeln | Theorie]]
| [[Formeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.7.
| lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle argumentieren, interpretieren und grafisch veranschaulichen
| [[Gleichungssysteme (2.7.) | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.8.
| lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen anwendungsbezogen aufstellen, mithilfe
von Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren und argumentieren
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#mit mehreren Variablen | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.9.
| quadratische Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und argumentieren
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.) | Theorie]]
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.10.
| Exponentialgleichungen vom Typ $ a^{k\cdot x}=b $ nach der Variablen
x auflösen
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Beispiele]]
|-
|2.11.
| Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mit Einsatz von Technologie auflösen und das Ergebnis interpretieren
| [[Solve- und Löse-Befehl | Theorie]]
| [[Solve- und Löse-Befehl#Beispiele zu 2.11. | Beispiele]]
|-
|2.12.
| Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck durch Sinus, Cosinus und Tangens eines
Winkels angeben; Seiten und Winkel anwendungsbezogen berechnen
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
 
 

== Funktionale Abhängigkeiten ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|3.1.
| eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der
Abhängigkeit zwischen Größen interpretieren;
den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologie darstellen, Funktionswerte ermitteln
und den Verlauf des Graphen im Kontext interpretieren
| [[Funktionen| Theorie]]
| [[Funktionen#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.2.
| lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die
Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren;
den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung
der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen interpretieren;
eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion interpretiere
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|3.3.
| Potenzfunktionen ($y=c\cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{R} $ sowie $y=\sqrt{x}$) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren
| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.4.
| Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften
bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten)
interpretieren und damit argumentieren
| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.5.
| Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren
| [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.6.
| ineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit
einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren
| [[Wachstumsfunktionen (3.6) | Theorie]]
| [[Wachstumsfunktionen (3.6)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.7.
| die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als
Lösung(en) einer Gleichung interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.8.
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz
bestimmen und diese im Kontext interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.9.
| anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen
(lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Theorie (3.9.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.10.
| Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und
die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und argumentieren
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Beispiele | Beispiele]]
|}
 
 

== Analysis ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|4.1.
|Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen auf der Basis eines intuitiven Begriffsverständnisses
argumentieren
| [[Theorie Grenzwert| Theorie]]
| [[Theorie Grenzwert#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.2.
| Differenzen- und Differenzialquotient als Änderungsraten interpretieren, damit anwendungsbezogen modellieren, rechnen und damit argumentieren
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|4.3.
| die Ableitungsfunktionen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen und Funktionen,
die aus diesen zusammengesetzt sind, berechnen
| [[Ableitungsregeln | Theorie]]
| [[Ableitugnsregeln#Beispiele| Beispiele]]
|-
|4.4.
| Monotonieverhalten, Steigung der Tangente und Steigungswinkel, lokale Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte von Funktionen am Graphen ablesen, mithilfe der Ableitungen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Kurvendiskussionen | Theorie]]
| [[Kurvendiskussionen#Maturabeispiele | Beispiele]]
|-
|4.5.
|den Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitungsfunktion bzw. einer Stammfunktion beschreiben; in ihrer grafischen Darstellung interpretieren und argumentieren
| [[graphisches Differenzieren | Theorie]]
| [[graphisches Differenzieren#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.6.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integrationsregeln | Theorie]]
| [[Integrationsregeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.7.
| das bestimmte Integral auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes als Grenzwert
einer Summe von Produkten interpretieren und damit argumentieren
| [[Integrieren| Theorie]]
| [[Integrieren#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.8.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integrieren| Theorie]]
| [[Integrieren#Beispiele | Beispiele]]
|}
 
 
== Stochastik==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|5.1.
|Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten)
grafisch darstellen und interpretieren sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise
anwendungsbezogen argumentieren (reis-, Stab- und Balken-/Säulendiagramme,
Boxplot)
| [[statistische Diagramme| Theorie]]
| [[statistische Diagramme#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.2.
| Mittelwerte und Streuungsmaße von Häufigkeitsverteilungen berechnen, interpretieren und
argumentieren
| [[statistische Kennzahlen| Theorie]]
| [[statistische Kennzahlen#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.3.
| die Wahrscheinlichkeit als intuitiven Grenzwert relativer Häufigkeit interpretieren
| [[Wahrscheinlichkeit| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit#Beispiele| Beispiele]]
|-
|5.4.
| die Additionsregel auf einander ausschließende Ereignisse und die Multiplikationsregel auf
unabhängige Ereignisse anwenden; Zufallsexperimente als Baumdiagramm darstellen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Wahrscheinlichkeit#Baumdiagramme| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.5.
|mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten
berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren
| [[Binomialverteilung | Theorie]]
| [[Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.6.
|mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren, Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ interpretieren und Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsdichte argumentieren
| [[Normalverteilung| Theorie]]
| [[Normalverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

[[Kategorie: Angewandte Mathematik]]

Gleichungssysteme (2.7.)

2014-10-03T12:53:39Z

178.190.141.223:

{{Vorlage:Definition|1= Ein '''lineares Gleichungssystem''' besteht aus mehreren [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

'''Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:'''

$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
}}

 
 
 
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =

'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen.

== Lösungsmenge $\mathbb{L}$==

Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
 
 
 
 
{{Vorlage:Beispiel|1=Zeige, dass der Punkt $(12\vert 23)$ das folgende Gleichungssystem löst: $ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$|2=
'''Begründung:''' Setze den Punkt $(12\vert 23)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=12$ und $y=23$ ist:
$$ I: \underbrace{12+23}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{4\cdot 12+2\cdot 23}_{\underbrace{48+46}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Somit ist $(12\vert 23)$ eine Lösung des Gleichungssystems }}

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

 
 

== Lösungsverfahren ==
=== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ===
{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Additionsverfahrens'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen die [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.}}

{| align="center"
|{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}
|}

 
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

 
 
'''4. Schritt:''' Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$

$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

 
 
{| border=1
| Wichtig
| Das Additionsverfahren eignet sich nur für '''lineare Gleichunggsysteme'''. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so '''funktioniert''' das Additionsverfahren '''nicht'''.

Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:
|}

 
 
 

=== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ===

{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Einsetzungsverfahrens'''

1. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe [[Gleichungen umformen]])

2. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable.

3. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:

$ \begin{align}
I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\
I:\ \ &x &=&35-y
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:

$ \begin{align}
II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\
II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)

$ \begin{align}
II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\
II:\ 140-4y+2y&=94 & \\
140-2y&=94&\ \vert -140\\
-2y&=-46&\ \vert :(-2)\\
y&=23
\end{align}$

 
 

Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten:
$$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

=== Graphisches Verfahren ===
[[Datei:Allgemein graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|230px|right|Der Schnittpunkt S ist die Lösung des Gleichungssystems]]

{{Vorlage:Merke|1=
'''Methode:'''

1. Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.

2. Einzeichnen der Geraden aus I. und II. in dasselbe Koordinatensystem (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Lineare Funktionen y=kx+d]]

3. Ermitteln des Schnittpunktes $\rightarrow$ dieser gibt die Lösungsmenge des Gleichungssystems an. }}

 
 
 
 
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:''' Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.

$\begin{align}
I: x+y=35 &\vert -x &\rightarrow & & \rightarrow &\underline{I:y=-x+35} \\
\\

II:4x+2y=94 &\vert -4x &\rightarrow &2y=-4x+94 \ \ \vert :2 & \rightarrow &\underline{II:y=-2x+47}
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Einzeichnen der Geraden $y=kx+d$ (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Geraden zeichnen]])

[[Datei:Bsp graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|center|400px|Der Schnittpunkt der Geraden $I:y=-x+35$ (rot) und $II:y=-2x+47$ (blau) ist $S(12\vert 23)$]]

'''3. Schritt:''' Ermitteln des Schnittpunktes.

Wie man aus der obigen Graphik erkennt, hat der Schnittpunkt die Koordinaten $S(12\vert 23)$. Somit lautet die [[Lösungsmenge|Lösungsmenge $\mathbb{L}$]]$={(12\vert 23)}$.}}

 Achtung! Oft ist es schwer, den Schnittpunkt durch eine händische Zeichnung exakt zu ermitteln. Hier ist es dann oft sinnvoll Technologie einzusetzen. Entweder
* [[GeoGebra#Schneide-Befehl | GeoGebra]] oder
* den [[Intersect-Befehl]] des TI

=== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ===

siehe [[TI-Befehle#Matrixverfahren|Matrixverfahren mit dem TR]]

=== Verfahren mit GeoGebra-CAS ===
kommt bald

== Lösungsmöglichkeiten eines linearen Gleichungssystems ==
Betrachtet man ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen graphisch, indem man die Geraden zeichnen (wie beim [[Gleichungssysteme (2.7.)#graphisches Verfahren |graphischen Verfahren]]) so gibt es insgesamt drei Lösungsmöglichkeiten:
# Die Geraden schneiden sich im Schnittpunkt $S(x|y)\ \rightarrow$ es gibt '''eine Lösung''': $\mathbb{L}={(x|y)}$
# Die Geraden sind parallel und es gibt keinen Schnittpunkt $\rightarrow$ es gibt '''keine Lösung''': $\mathbb{L}={\ }$
# Die Geraden überlappen sich und es gibt undendlich viele Schnittpunkte $\rightarrow$ es gibt '''undendlich viele Lösungen''', die alle auf der Geraden liegen: $\mathbb{L}=\{ (x\vert y)\vert (x|y)\textrm{ erfüllt die Geradengleichung} \}$

Wie erkennen wir nun diese drei Fälle, wenn wir eines der 3 Lösungsverfahren verwenden? Die folgende Graphik zeigt dies genauer:
{| class="wikitable"
|-
! $\ $ !! 1. Fall: genau eine Lösung !! 2. Fall: keine Lösung !! 3. Fall: unendlich viele Lösungen
|-
| Beispiel: Die Gleichungen sind
| [[Lineare Abhängigkeit|Linear unabhängig]] und widerspruchsfrei: $$I:-x+y=1$$ $$II:-x-y=2$$
| widersprüchlich $$I:-x+y=1$$ $$II:-x+y=2$$
| [[Lineare Abhängigkeit|Linear abhängig]] (II ist ein Vielfaches von I):
$$I:-x+y=1$$
$$II:-2x+2y=2$$
|-
| Anzahl der Lösungen:
|Genau eine:
$x=-1.5$ und $y=-0.5$
| keine Lösung
| Unendlich viele
z.B. $(0|1);(1|2);(3|4)...$
|-
| Lösungsmenge
| $$\mathbb{L}={(-1.5|-0.5)}$$
| $$\mathbb{L}=\{\ \}$$
| $$\mathbb{L}=\{ (x|y)|-x+y=1\}$$
d.h. alle Punkte $(x|y)$, die die Gleichung $-x+y=1$ erfüllen.
|-
| Graphisches Lösungsverfahren
|
[[Datei:Lösungsverfahren-schnittpkt.png|miniatur|center|201px]]
|
[[Datei:Lösungsverfahren-parallel.png|201px|miniatur|zentriert]]
|
[[Datei:Lösungsverfahren-überlappend.png|201px|miniatur|zentriert]]
|-
| Additions- und Einsetzungsverfahren
| $x=-1.5$ und $y=-0.5$
| eine falsche Aussage wie $0=1$ oder $4=18$...
somit gibt es keine Werte als Lösung.
|eine wahre Aussage wie $0=0$ oder $2=2$
somit ist jede Zahl (die eine der beiden Gleichungen erfüllt) eine Lösung.
|-
| Matrixverfahren
|
{| border="1"
| $1$ ||$0$ ||$-1.5$
|-
| $0$ || $1$ ||$-0.5$
|}
| Die unterste Zeile besteht aus:
{| border="1"
| $0$ ||$0$ ||$1$
|}
Somit gilt:
$0x+0y=1$ und damit
$0=1$ f.A. $\rightarrow$ es gibt keine Lösung.
| Die unterste Zeile besteht aus:
{| border="1"
| $0$ ||$0$ ||$0$
|}
Somit gilt:
$0x+0y=0$ und damit
$0=0$ w.A. $\rightarrow$ es gibt unendlich viele Lösungen.
|-
| Lösung mit GeoGebra-CAS || $$x = -1.5,\ y = -0.5$$|| $$\textrm{ ? }$$|| $$x = y - 1, y = y$$
|}

== Lineare Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen ==

Musterbeispiel:
Das folgende lineare Gleichungssystem zeigt ein Gleichungssystem mit 3 Variablen (x, y und z) und 3 Gleichungen:

$\begin{align}
I: &2x&+&y&-&3z&=&-4\\
II: &x&-&3y&-&z&=&-8\\
III: &-3x&+&y&+&z&=&\ \ 2
\end{align}$

Es gilt: Um ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus n [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen bestehen.

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

== Matura-Aufgaben==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Lineare Funktionen]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]] sowie [[Funktionen]] und für d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]]