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Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-15T08:08:50Z

178.190.141.168: /* Graph der Exponentialfunktion */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$
----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

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== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimmen Sie wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=6.43$$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ |textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.75^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.75^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.75=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.75}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

</div>

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== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]

== Beispiele ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Nullstelle

2014-07-15T07:18:08Z

178.190.141.168:

[[Datei:Kurvendiskussion-1.png|thumb|right|350px|Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet.]]
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Nullstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0).

'''Formale Definition:'''

Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: $f(x_1)=0$
|}

=== Video ===
{{#ev:youtube|BB43Eja4Pew}}

=== Berechnung der Nullstellen ===
Um die Nullstellen zu berechnen, muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden. Je nach [[Funktionen | Funktionstyp]] von $f(x)$ kann entweder x [[Äquivalenzumformungen | einfach freigestellt werden]] oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]], [[graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[Solve-Befehl]]) verwendet werden.

Als Richtwert, kannst du dir aber folgende Regel merken:

# Bei linearen Gleichungen 0=kx+d: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Nach x umformen]].
# Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]]
# Bei Gleichungen mit [[Grad]] $\ge 3$: [[graphisches Lösungsverfahren im TR]]

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<br>

=== Musterbeispiele ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> a) Bestimme die Nullstelle der linearen Funktion $f(x)=-2x+4$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Linfkt-nullstelle.png|thumb|180px|right]]
'''Lösung:'''
$$0=-2x+4 \ \ |-4$$
$$ -4=-2x \ \ |:(-2)$$
$$2=x$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N(2|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> b) Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> c) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$ (siehe Abbildung rechts oben). </span>

<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung mithilfe des [[graphisches Lösungsverfahren im TR]] oder dem [[Löse-Verfahren (GeoGebra)]]'''
$x_1=-1.9,\ x_2=6$ und $ x_3=7.9$
</div>
</div>

[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]

Lineare Funktionen

2014-07-15T07:01:02Z

178.190.141.168: /* Anwendungen */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $ y=k\cdot x+d$, mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </p>
|}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand vom Schnittpunkt der Geraden auf der y-Achse zum Urspring.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]

<ggb_applet width="923" height="445" version="4.2" 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" 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== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade zu zeichnen musst du
# d hinauf/hinab
# 1 nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

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== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

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== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
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1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

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<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

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4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

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5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

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6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2014-07-15T06:59:42Z

178.190.141.168: /* Anwendungen */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $ y=k\cdot x+d$, mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </p>
|}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand vom Schnittpunkt der Geraden auf der y-Achse zum Urspring.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]

<ggb_applet width="923" height="445" version="4.2" ggbBase64="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" enableRightClick="true" showAlgebraInput="false" enableShiftDragZoom="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="true" enableLabelDrags="false" showResetIcon="true" />

== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade zu zeichnen musst du
# d hinauf/hinab
# 1 nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

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== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

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== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
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1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2014-07-15T06:58:00Z

178.190.141.168: /* Verschiebung von k und d */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $ y=k\cdot x+d$, mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </p>
|}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

# '''k wird eingezeichnet''', indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] )

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand vom Schnittpunkt der Geraden auf der y-Achse zum Urspring.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]

<ggb_applet width="923" height="445" version="4.2" ggbBase64="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" enableRightClick="true" showAlgebraInput="false" enableShiftDragZoom="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="true" enableLabelDrags="false" showResetIcon="true" />

== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade zu zeichnen musst du
# d hinauf/hinab
# 1 nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

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== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstumsfunktionen]]
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

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== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
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1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Schuldentilgung

2014-07-15T06:56:54Z

178.190.141.168: /* Online-Materialien und Übungsbeispiele */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

{|
|-
|

* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|

* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|

* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center" width="800px"
| style="background:#f0f0f0" | '''Merke:'''

| style="background:#f0f0f0" align="center"|

'''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 184.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,7$
| align="center" | $151,47$
| align="center" |$184,17$
| align="center" | $9815,83$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $32,01$
| align="center" |$152,07$
| align="center" |$184,17$
| align="center" |$9631,66$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,50$
| align="center" | $153,67$
| align="center" |$184,17$
| align="center" | $9446,49$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel Ratenschuld ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien und Übungsbeispiele ==
* 3. Klasse-Buch (Trauner): S. 181-182
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://www.geogebratube.org/student/m108662 Online-Rechner zu Schuldentilgung und Tilgungsplan]<span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span>
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=198&file=Wohnungsrenovierung.pdf Wohnungsrenovierung(Bifie-Aufgabe) ]
: siehe auch
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]
::* [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | konformer Zinssatz]]
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobielienhandel (Bifie-Aufgabe)]
: siehe auch
::* [[Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen) | Äquivalenzprinzip]]
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-07-15T06:56:31Z

178.190.141.168: /* Online-Materialien und Übungsbeispiele */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

{|
|-
|

* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|

* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|

* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center" width="800px"
| style="background:#f0f0f0" | '''Merke:'''

| style="background:#f0f0f0" align="center"|

'''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 184.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,7$
| align="center" | $151,47$
| align="center" |$184,17$
| align="center" | $9815,83$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $32,01$
| align="center" |$152,07$
| align="center" |$184,17$
| align="center" |$9631,66$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,50$
| align="center" | $153,67$
| align="center" |$184,17$
| align="center" | $9446,49$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel Ratenschuld ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien und Übungsbeispiele ==
* 3. Klasse-Buch (Trauner): S. 181-182
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>] [http://www.geogebratube.org/student/m108662 Online-Rechner zu Schuldentilgung und Tilgungsplan]<span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span>
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=198&file=Wohnungsrenovierung.pdf Wohnungsrenovierung(Bifie-Aufgabe) ]
: siehe auch
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]
::* [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | konformer Zinssatz]]
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobielienhandel (Bifie-Aufgabe)]
: siehe auch
::* [[Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen) | Äquivalenzprinzip]]
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Angewandte Mathematik

2014-07-15T06:53:29Z

178.190.141.168:

= Wie muss ich maturieren? =

Bei der Matura wirst du dir aussuchen können, ob du im Fach "Angewandte Mathematik" [https://www.bifie.at/node/81 schriftlich] oder [[mündlich]] antrittst.

= Was muss ich können? Kompetenzenlisten =

Die Kompetenzen sind in 2 Teile, Teil A und Teil B, aufgeteilt:
* [[Grundkompetenzen Teil A| Teil A]] ist für alle BHS-Schulen (HTL, HAK, HLW, Bakip,...) gleich.
* [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6 | Teil B]] ist Schulartenspezifisch. Jede Schule hat einen sogenannten Cluster. Für die HLW gilt der Cluster 6.

[[Kategorie:Angewandte Mathematik]]

Lineare Optimierung

2014-07-15T06:52:32Z

178.190.141.168: /* Beispiele */

Die lineare Optimierung eignet sich besonders für wirtschaftliche Anwendungen, um (unter anderem) die optimale Produktionsmenge und den maximalen Gewinn zu bestimmen.
== Einleitung - Was ist lineare Optimierung?==

Im Jahre 1948 wurden beim Wiederaufbau der Stadt Moskau Mathematiker damit beauftragt, den Transport von Kies aus 20 Kiesgruben zu 230 Baustellen kostensparend zu optimieren. Mit Hilfe der linearen Optimierung konnte eine Kostensenkung von 10% gegenüber dem ursprünglichen Preis erreicht werden.
W. Knödl von der TU Wien errechnete 1960 mit Hilfe der linearen Optimierung einen optimalen Kostenplan für den Transport von Zucker aus fünf österreichischen Zuckerfabriken an alle 300 österreichischen Großhändler. Auch hier konnten die Transportkosten um 10 % gesenkt werden.
Heute wird die lineare Optimierung im Transportwesen angewendet, um Transportkosten zu senken, in der Landwirtschaft, um Nutzflächen optimal auszunützen, in der Organisationsplanung, um die günstigsten Stunden- und Schichtpläne zu ermitteln usw.
Wir beschränken uns hier auf die Grundidee der linearen Optimierung und beschränken uns auf 2 Variablen.

== Methode (zusammengefasst) ==
# Zuerst lese den Text ganz genau durch und überlege dir, was gefragt ist. Was soll x sein, was soll y sein?
# Dann werden aus der Angabe alle Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen herausgelesen. Dazu gehören in der Regel auch immer die [[Nichtnegativitätsbedingungen]]
# Das Planungsfeld wird erstellt, indem die [[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Lösungsmengen der Ungleichungen gezeichnet werden]]
# Die Zielfunktion wird aufgestellt: Z gibt an, was maximiert/minimiert werden soll.
# Der Graph der Zielfunktion wird in das Planungsfeld gezeichnet (mit Z=0) und anschließend bis zum optimalen Punkt parallel hinauf (für das Maximum) oder hinunter (für das Minimum) verschoben.
# Die Koordinaten des optimalen Punktes werden bestimmt, indem man
#: a) die Koordinaten abliest
#: b) den [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 2 Variablen | Schnittpunkt der beiden Geraden]], die sich in diesem Punkt schneiden, berechnet.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
'''Bemerkungen:'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Meistens gibt es nur einen Lösungspunkt. Es kann aber auch vorkommen, dass die Zielfunktion zu einer Begrenzungsgeraden parallel ist und hier auch optimal ist. Jeder Punkt der Geraden, der auch im Planungsfeld liegt, ist dann Lösungspunkt.
# Die hier beschriebene graphische Lösungsmethode ist nur für zwei (höchstens drei) Variable anwendbar. In der Praxis treten viel mehr Variable auf; solche Verfahren sind nur noch mit rechnerischen Methoden (z.B.: Simplex-Algorithmus) zu bewältigen.
# '''Hauptsatz der linearen Optimierung:'''
#: Die Zielfunktion erreicht ihr Maximum oder Minimum stets am Rand des zulässigen Bereichs. In den meisten Aufgabenstellungen ist die Lösung eindeutig und liegt in einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs.
</div>
</div>

== Video ==

{|
!| Aufstellen der Nebenbedingungen und Zielfkt
!| Planungsfeld und optimaler Punkt
|-
|{{#ev:youtube|Ie1MAKgLmzw}}
|{{#ev:youtube|fr0PJu3f588}}
|}

== Musterbeispiel ==
'''Angabe'''
{| align="center" border="1"
|Eine Kleiderfabrik stellt Hosen und Röcke her. Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen, allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück. Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.
a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in ein Ungleichungen.
<br>
b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.
<br>
c) Löse das System und interpretieren Sie die Lösung.
|}
<br>
<br>
'''Lösung'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
'''a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in Ungleichungen.'''
<div class="mw-collapsible-content">

<br>
Sei x die Anzahl der Hosen, y die Anzahl der Röcke.
<br>
{| align="center" border="1"
|"''Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen''"
|}
$$ I:x\leq 70$$
$$II: y\leq 100 $$
{| align="center" border="1"
|"''allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück''"
|}
$$ III: x+y\leq 140 \rightarrow y\leq -x+140 $$
Nichtnegativitätsbedingungen: $$ IV: x\geq 0 \textrm{ und }V: y\geq 0$$
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
'''b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.'''
<div class="mw-collapsible-content">
{| align="center" border="1"
|"''Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.''"
|}
Gewinn für eine Hose: $45-20=25$ €.
<br>
Gewinn für einen Rock: $35-15=20$ €.
<br>
Somit lautet die Zielfunktion, die den Gewinn angibt:

$$\begin{align} Z=25x+20y &\rightarrow -25x+Z=20y \\
&\rightarrow y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20} \end{align}$$
<br>
<br>
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
'''c) Löse das System und interpretiere die Lösung.'''
<div class="mw-collapsible-content">

1. Schritt: Zuerst zeichnen wir das Planungsfeld:

$\begin{align} I:&x\leq 70&\\
II:&y\leq 100&\\
III: &x+y\leq 140& \rightarrow y\leq -x+140 \\
IV:& x\geq 0&\\
V: &y\leq 0& \end{align}$
<br>

[[Datei:Planungsfeld.png|center|Planungsfeld]]
<br>
<br>

2. Schritt: Dann zeichnen wir die Zielfunktion ein und verschieben sie parallel ganz nach oben, bis sie das Planungsfeld nur noch in einem Punkt berührt.<br>

$$y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20}\rightarrow k=\frac{25}{20} \textrm{und d kann frei gewählt werden.}$$

[[Datei:Planungsfeld u Zielfkt5.gif|center|Die Zielfunktion zeichnest du ein, wenn du für k 20 nach rechts und 25 hinunter gehst.]]

Der optimale Punkt ist der Schnittpunkt von $I: x=70$ und $II: y=-x+140$. (Hinweis: Natürlich können die Koordinaten des optimalen Punktes auch abgelesen werden, wir wollen sie hier aber berechnen).
<br>
<br>
<br>
3. Schritt Nun berechnen wir den optimal Punkt, indem wir die Geraden $I: x=70$ und $III: y=-x+140$ schneiden:

$$I: x=70$$
$$III: y=-x+140$$
Einsetzungsverfahren: I in III einsetzen.
$$ y=-70+140 \rightarrow y=70$$
Somit lauten die Koordinaten des optimalen Punktes: $P(70|70)$
<br>
<br>
<br>
4. Schritt: Zuletzt berechnen wir noch den maximalen Gewinn, indem wir den optimalen Punkt $(70|70)$ in die Zielfunktion $Z=25x+20y$ einsetzen:
$$Z=25\cdot 70+20\cdot 70=3150$$
<br>
<br>
<br>

5. Schritt: Antwortsatz
Der maximale Gewinn von 3150 € wird bei einer Produktion von 70 Hosen und 70 Röcken erzielt.

</div>
</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Beispiele ==
# [http://matura.marienberg.at/images/a/a0/Aufgaben_zur_linearen_Optimierung_%28Th-Germann%29.docx Übungsaufgaben samt Lösungen]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=48&file=Weinhandel-C6.pdf Weinhandel]

[[Kategorie:Teil B: Cluster 6]]

Trigonometrie (2.12 und 3.10)

2014-07-15T06:48:41Z

178.190.141.168: /* Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis */

In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)

Die folgende Seite ist in 5 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
# [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck]]: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen.
# [[#Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis | Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis]]: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
# [[#Trigonometrische Funktionen | Trigonometrische Funktionen]]: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und Tangensfunktion kennen.
# [[#Das allgemeine Dreieck | Das allgemeine Dreieck]], indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, zu rechnen.
# [[#Vermessungsaufgaben | Vermessungsaufgaben]], in denen du das Gelernte in Anwendungsbeispielen verwenden kannst.

Die letzten beiden Kapitel bestehen aus einer [[#Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck | Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln]] und [[#Matura-Aufgaben | Matura-Aufgaben]]

== Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck ==

=== Begriffe ===
[[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|350px|rechtwinkliges Dreieck]]

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (= Dreieck mit einem 90°-Winkel).

* Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt '''Hypotenuse'''. Sie ist '''IMMER gegenüber vom dem rechten Winkel'''.
* Die beiden kürzere Seiten heißen '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
: * die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
: * die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
<br>
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=== Sinus, Cosinus und Tangens ===

{| border ="1"

| '''Definition'''

|<p style="background-color:#E0E0E0">

{|
|
* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
|$\ \ \ \mathbf{sin\ \alpha = \frac{GK}{H}}$
|-
|
* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
|$\ \ \ \mathbf{cos\ \alpha = \frac{AK}{H}}$
|-
|
* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK
|$\ \ \ \mathbf{tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}}$
|}
</p>
|}

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]
Das Besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
:[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].

{|
|-
| <span style="background-color:#00FFFF"> '''Wichtig:''' </span> Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
|}

<br>
<br>
<br>

=== Steigung und Steigungswinkel ===
[[Datei:Steigung11.png|thumb|right|450px|Steigung und Steigungswinkel]]
Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
Somit erhalten wir die Formel:

{| style="color:red;" cellpadding="10" border="1" align="center"
| $$k=\tan \alpha$$
|}

Mit dieser Formel kann nun einfach zwischen der (prozentuellen) Steigung und dem Steigungswinkel gewechselt werden:
<br>
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<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.

- Bestimmen Sie
* a) den Steigungswinkel
* b) die prozentuelle Steigung

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]

$\alpha = 8.05°$

b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
$$k=\ tan\ \alpha$$
$$k=\tan \ 8.05°$$
$$k=0.14=14 \ \%$$
A: Die Steigung beträgt 14 %.

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Übungen im Rechtwinkligen Dreieck ===

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.mathe-online.at/tests/wfun/defWfun.html Online-Übung zur Überprüfung, ob die richtige Formel verwendet wurde]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html Weitere Übung zur Überprüfung der Formel]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html Und noch eine Übung dazu]

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/rechtw.htm Rechenbeispiele von Jutta Gut (mit Lösungen)]

* [http://matura.marienberg.at/images/0/04/Aufgaben_zu_den_Themen_rechtw_Dreieck_und_Einheitskreis.pdf Aufgabenblatt mit Textaufgaben samt Lösungen]

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== Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis ==
=== Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===

[[Datei:Winkel- und Bogenmaß1.png|thumb|right|500px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]

Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit Radius r=1. Sein Umfang beträgt
$$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$

Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:

'''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''

So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.

* Eine volle Umdrehung hat 360°
* Eine halbe Umdrehung hat 180°

'''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''

Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens r (siehe Skizze) bestimmt werden.

* Bei einer vollen Umdrehung hat r die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises, siehe oben). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
* Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Hier findest du ein
[http://www.geogebratube.org/student/m133394 Arbeitsblatt, das dir den Zusammenhang besser erklärt].

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
{|
| Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
|-
| $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.
|}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.

b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Grad- in Bogenmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$

A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$

b) Bogen- in Gradmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
$$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$

A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===

====Theorie====
Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:

[[Datei:Sinus und Kosinus und Tangens im Einheitskreis1.png|thumb|right|500px|Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis]]

* Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Tangens entspricht der Länge des [[Tangente | Tangentenabschnittes]] der Tangente durch den Punkt (1,0).

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Begründung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''für den Sinus:'''
Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die Länge der $\color{red}{\textrm{roten Strecke}}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete GK.

Zu zeigen ist nun:
$$\sin \ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

'''Beweis:'''
$$\sin\ \alpha=\frac{GK}{H}=\frac{\color{red}{\textrm{rote Strecke}}}{1}=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
Somit gilt:
$$\sin\ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Mit dem folgenden [http://www.geogebratube.org/student/m133494 Arbeitsblatt] kannst du dein Verständnis vertiefen.

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====Wichtige Werte====
Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das [http://www.geogebratube.org/student/m133494 obige Arbeitsblatt] sollte dir dabei helfen:

{| border="1" align="center"
|
| Sinus
| Cosinus
| Tangens
|-
| Gradmaß: 90°
Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad
| 1
| 0
| nicht definiert
|-
| 180°
$\pi$ rad
| 0
| -1
| 0
|-
| 270°
$\frac{3\pi}{2}$ rad
| -1
| 0
| nicht definiert
|-
| 0° und 360°
0 rad und $2\pi$ rad
| 0
| 1
| 0
|}

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== Trigonometrische Funktionen ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Öffne das folgende [http://www.geogebratube.org/student/m133564 Arbeitsblatt]. Hier findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die unten abgebildten Graphen der Sinus-, Cosius und Tangensfunktion kommt.

=== Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$ ===

Stellt man den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:

[[Datei:Sinusfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

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===Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$ ===
Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Cosfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

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===Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$ ===
Der Graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Tangensfkt1.png|thumb|center|700px|Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

# Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
# Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die [[Wertemenge]] $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Betrag]] verwendet.)
# Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
# Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Wichtige Werte | Tabelle zum Einheitskreis]] herausgelesen werden.
</div>

</div>
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== Das allgemeine Dreieck ==
[[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]

Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.

Ohne rechten Winkel können wir die [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens]] nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:

a) den Sinussatz

b) den Cosinussatz und

c) die allgemeinen Flächenformeln

Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechten Winkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).

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=== Sinussatz ===
{| align="right"
|{{#ev:youtube|Mvm69Wj8doo}}
|}
Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck

1. eine Seite '''und'''

2. der gegenüberliegende Winkel '''und'''

3. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.

{| style="color:red;" border="1" align="center"
| '''Formel für den Sinussatz'''
|-
| $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$
|}

Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes:

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=== Cosinussatz ===

{| style="color:red;" border="1" align="center"
!| Formeln für den Cosinussatz
|-
|
*$ a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\ \alpha$
* $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\ \beta$
* $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\ \gamma$
|}

Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:

: a) 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist '''oder'''

: b) alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will.

{| border="1" align="center"
!| Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.

:: <span style="color:red"> gegebene Größen </span>
:: <span style="color:blue"> berechenbare Größen </span>
|-
|
{| align="center"
| [[Datei:Cosinussatz2.png|thumb|300px|Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden]]
| [[Datei:Cosinussatz1.png|thumb|300px|Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden]]
|}
|}

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=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/dreiecke.htm Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut (samt Lösungen)]

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== Vermessungsaufgaben ==
=== Begriffe ===

[[Datei:Höhen- und Tiefenwinkel.gif|right]]

* '''Höhenwinkel'''
Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Höhe".

* '''Tiefenwinkel'''
Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Tiefe".

* '''Sehwinkel'''
Der Sehwinkel ist das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) "einfängt".

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=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/verm.htm Beispiele zu den Vermessungsaufgaben von Jutta Gut (samt Lösungen)]

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== Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ==
{| border="1" align="center"
|-
|
| rechtwinkliges Dreieck
| allgemeines Dreieck

|-
| Winkelsumme
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
|-
| Pythagoras
| $H^2=GK^2+AK^2$
| gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
|-
| Flächeninhalt
| $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
| $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
|
| $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
|
| $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
|}

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm.pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
: Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
: Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
: Siehe auch [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
: Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch
: * [[Beschreibende Statistik]]
: * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
: '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Trigonometrie (2.12 und 3.10)

2014-07-15T06:47:48Z

178.190.141.168: /* Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis */

In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)

Die folgende Seite ist in 5 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
# [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck]]: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen.
# [[#Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis | Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis]]: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
# [[#Trigonometrische Funktionen | Trigonometrische Funktionen]]: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und Tangensfunktion kennen.
# [[#Das allgemeine Dreieck | Das allgemeine Dreieck]], indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, zu rechnen.
# [[#Vermessungsaufgaben | Vermessungsaufgaben]], in denen du das Gelernte in Anwendungsbeispielen verwenden kannst.

Die letzten beiden Kapitel bestehen aus einer [[#Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck | Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln]] und [[#Matura-Aufgaben | Matura-Aufgaben]]

== Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck ==

=== Begriffe ===
[[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|350px|rechtwinkliges Dreieck]]

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (= Dreieck mit einem 90°-Winkel).

* Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt '''Hypotenuse'''. Sie ist '''IMMER gegenüber vom dem rechten Winkel'''.
* Die beiden kürzere Seiten heißen '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
: * die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
: * die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
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=== Sinus, Cosinus und Tangens ===

{| border ="1"

| '''Definition'''

|<p style="background-color:#E0E0E0">

{|
|
* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
|$\ \ \ \mathbf{sin\ \alpha = \frac{GK}{H}}$
|-
|
* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
|$\ \ \ \mathbf{cos\ \alpha = \frac{AK}{H}}$
|-
|
* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK
|$\ \ \ \mathbf{tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}}$
|}
</p>
|}

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]
Das Besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
:[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].

{|
|-
| <span style="background-color:#00FFFF"> '''Wichtig:''' </span> Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
|}

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=== Steigung und Steigungswinkel ===
[[Datei:Steigung11.png|thumb|right|450px|Steigung und Steigungswinkel]]
Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
Somit erhalten wir die Formel:

{| style="color:red;" cellpadding="10" border="1" align="center"
| $$k=\tan \alpha$$
|}

Mit dieser Formel kann nun einfach zwischen der (prozentuellen) Steigung und dem Steigungswinkel gewechselt werden:
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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.

- Bestimmen Sie
* a) den Steigungswinkel
* b) die prozentuelle Steigung

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]

$\alpha = 8.05°$

b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
$$k=\ tan\ \alpha$$
$$k=\tan \ 8.05°$$
$$k=0.14=14 \ \%$$
A: Die Steigung beträgt 14 %.

</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Übungen im Rechtwinkligen Dreieck ===

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.mathe-online.at/tests/wfun/defWfun.html Online-Übung zur Überprüfung, ob die richtige Formel verwendet wurde]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html Weitere Übung zur Überprüfung der Formel]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html Und noch eine Übung dazu]

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/rechtw.htm Rechenbeispiele von Jutta Gut (mit Lösungen)]

* [http://matura.marienberg.at/images/0/04/Aufgaben_zu_den_Themen_rechtw_Dreieck_und_Einheitskreis.pdf Aufgabenblatt mit Textaufgaben samt Lösungen]

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== Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis ==
=== Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===

[[Datei:Winkel- und Bogenmaß1.png|thumb|right|500px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]

Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit Radius r=1. Sein Umfang beträgt
$$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$

Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:

'''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''

So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.

* Eine volle Umdrehung hat 360°
* Eine halbe Umdrehung hat 180°

'''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''

Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens r (siehe Skizze) bestimmt werden.

* Bei einer vollen Umdrehung hat r die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises, siehe oben). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
* Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Hier findest du ein
[http://www.geogebratube.org/student/m133394 Arbeitsblatt, das dir den Zusammenhang besser erklärt].

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
{|
| Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
|-
| $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.
|}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.

b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Grad- in Bogenmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$

A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$

b) Bogen- in Gradmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
$$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$

A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===

====Theorie====
Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:

[[Datei:Sinus und Kosinus und Tangens im Einheitskreis1.png|thumb|right|500px|Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis]]

* Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Tangens entspricht der Länge des [[Tangente | Tangentenabschnittes]] der Tangente durch den Punkt (1,0).

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Begründung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''für den Sinus:'''
Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die Länge der $\color{red}{\textrm{roten Strecke}}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete GK.

Zu zeigen ist nun:
$$\sin \ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

'''Beweis:'''
$$\sin\ \alpha=\frac{GK}{H}=\frac{\color{red}{\textrm{rote Strecke}}}{1}=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
Somit gilt:
$$\sin\ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Mit dem folgenden [http://www.geogebratube.org/student/m133494 Arbeitsblatt] kannst du dein Verständnis vertiefen.

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<br>
<br>

====Wichtige Werte====
Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das [http://www.geogebratube.org/student/m133494 obige Arbeitsblatt] sollte dir dabei helfen:

{| border="1" align="center"
|
| Sinus
| Cosinus
| Tangens
|-
| Gradmaß: 90°
Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad
| 1
| 0
| nicht definiert
|-
| 180°
$\pi$ rad
| 0
| -1
| 0
|-
| 270°
$\frac{3\pi}{2}$ rad
| -1
| 0
| nicht definiert
|-
| 0° und 360°
0 rad und $2\pi$ rad
| 0
| 1
| 0
|}

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<br>
<br>

== Trigonometrische Funktionen ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Öffne das folgende [http://www.geogebratube.org/student/m133564 Arbeitsblatt]. Hier findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die unten abgebildten Graphen der Sinus-, Cosius und Tangensfunktion kommt.

=== Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$ ===

Stellt man den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:

[[Datei:Sinusfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

<br>
<br>
<br>

===Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$ ===
Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Cosfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

<br>
<br>
<br>

===Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$ ===
Der Graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Tangensfkt1.png|thumb|center|700px|Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

# Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
# Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die [[Wertemenge]] $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Betrag]] verwendet.)
# Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
# Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Wichtige Werte | Tabelle zum Einheitskreis]] herausgelesen werden.
</div>

</div>
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<br>

== Das allgemeine Dreieck ==
[[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]

Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.

Ohne rechten Winkel können wir die [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens]] nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:

a) den Sinussatz

b) den Cosinussatz und

c) die allgemeinen Flächenformeln

Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechten Winkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).

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<br>
<br>

=== Sinussatz ===
{| align="right"
|{{#ev:youtube|Mvm69Wj8doo}}
|}
Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck

1. eine Seite '''und'''

2. der gegenüberliegende Winkel '''und'''

3. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.

{| style="color:red;" border="1" align="center"
| '''Formel für den Sinussatz'''
|-
| $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$
|}

Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes:

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<br>

=== Cosinussatz ===

{| style="color:red;" border="1" align="center"
!| Formeln für den Cosinussatz
|-
|
*$ a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\ \alpha$
* $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\ \beta$
* $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\ \gamma$
|}

Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:

: a) 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist '''oder'''

: b) alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will.

{| border="1" align="center"
!| Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.

:: <span style="color:red"> gegebene Größen </span>
:: <span style="color:blue"> berechenbare Größen </span>
|-
|
{| align="center"
| [[Datei:Cosinussatz2.png|thumb|300px|Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden]]
| [[Datei:Cosinussatz1.png|thumb|300px|Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden]]
|}
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/dreiecke.htm Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut (samt Lösungen)]

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<br>
<br>
<br>

== Vermessungsaufgaben ==
=== Begriffe ===

[[Datei:Höhen- und Tiefenwinkel.gif|right]]

* '''Höhenwinkel'''
Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Höhe".

* '''Tiefenwinkel'''
Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Tiefe".

* '''Sehwinkel'''
Der Sehwinkel ist das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) "einfängt".

<br>
<br>
<br>

=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/verm.htm Beispiele zu den Vermessungsaufgaben von Jutta Gut (samt Lösungen)]

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ==
{| border="1" align="center"
|-
|
| rechtwinkliges Dreieck
| allgemeines Dreieck

|-
| Winkelsumme
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
|-
| Pythagoras
| $H^2=GK^2+AK^2$
| gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
|-
| Flächeninhalt
| $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
| $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
|
| $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
|
| $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
|}

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm.pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
: Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
: Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
: Siehe auch [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
: Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch
: * [[Beschreibende Statistik]]
: * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
: '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Grundkompetenzen Teil A

2014-07-15T06:40:29Z

178.190.141.168:

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen des gemeinsamen Teils (Teil A) auf. Für jene Kompetenzen, die in allen HLWs zusätzlich noch verlangt werden, klicke auf [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6]]

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 5 Inhaltsbereiche gegliedert:

== Zahlen und Maße ==

{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|1.1.
| mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen rechnen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der Zahlengeraden veranschaulichen
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| Theorie]]
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)#Beispiele Zahlenmengen (1.1.) | Beispiele]]
|-
|1.2.
| Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung in der Form $\pm a\cdot 10^{k} $ mit <math> 1 \leq a < 10 \textrm{und} a \in \mathbb{R} ,\ k \in \mathbb{Z} </math> darstellen und damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3) | Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Beispiele]]
|-
|1.3.
| Vielfache und Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen (Nano bis Tera); Größen als Maßzahl mal Maßeinheit darstellen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Beispiele]]
|-
|1.4.
| überschlagsrechnen und runden, Ergebnisse beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in
kontextbezogener Genauigkeit angeben
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Theorie]]
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.)#Beispiele Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Beispiele]]
|-
|1.5.
| Zahlenangaben in Prozent und Promille im Kontext anwenden und mit Prozentsätzen und
Promillesätzen rechnen
| [[Prozentrechnung (1.5.) | Theorie]]
| [[Prozentrechnung (1.5.)#Beispiele Prozentrechnung (1.5.) | Beispiele]]
|-
|1.6.
| den Betrag einer Zahl verstehen und anwenden
| [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Theorie]]
| [[Betrag einer Zahl (1.6.)#Beispiele Betrag (1.6.) | Beispiele]]
|}
<br>
<br>
== Algebra und Geometrie ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|2.1.
| Rechnen mit Termen
| [[Rechnen mit Termen(2.1.)| Theorie]]
| [[Rechnen mit Termen (2.1.)#Beispiele (2.1.) | Beispiele]]
|-
|2.2.
| Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten anwenden;
Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen
| [[Potenzen (2.2.) | Theorie]]
| [[Potenzen (2.2.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.3.
| Rechengesetze für Logarithmen anwenden
| [[Der Logarithmus (2.3.)| Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.4.
| lineare Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen, die Lösungen
interpretieren und argumentieren
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) | Theorie]]
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) #Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.5.
| Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen, begründen und interpretiere
| [[Theorie (2.5.) | Theorie]]
| [[Theorie (2.5.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.6.
| eine Formel nach einer der variablen Größen umformen und die gegenseitige Abhängigkeit
der Größen in einer Formel interpretieren und erklären
| [[Formeln | Theorie]]
| [[Formeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.7.
| lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle argumentieren, interpretieren und grafisch veranschaulichen
| [[Gleichungssysteme (2.7.) | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.8.
| lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen anwendungsbezogen aufstellen, mithilfe
von Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren und argumentieren
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#mit mehreren Variablen | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.9.
| quadratische Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und argumentieren
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.) | Theorie]]
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.10.
| Exponentialgleichungen vom Typ $ a^{k\cdot x}=b $ nach der Variablen
x auflösen
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Beispiele]]
|-
|2.11.
| Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mit Einsatz von Technologie auflösen und das Ergebnis interpretieren
| [[Solve- und Löse-Befehl | Theorie]]
| [[Solve- und Löse-Befehl#Beispiele zu 2.11. | Beispiele]]
|-
|2.12.
| Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck durch Sinus, Cosinus und Tangens eines
Winkels angeben; Seiten und Winkel anwendungsbezogen berechnen
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<br>
== Funktionale Abhängigkeiten ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|3.1.
| eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der
Abhängigkeit zwischen Größen interpretieren;
den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologie darstellen, Funktionswerte ermitteln
und den Verlauf des Graphen im Kontext interpretieren
| [[Funktion (3.1.)| Theorie]]
| [[Funktion (3.1.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.2.
| lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die
Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren;
den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung
der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen interpretieren;
eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion interpretiere
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|3.3.
| Potenzfunktionen ($y=c\cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{R} $ sowie $y=\sqrt{x}$) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren
| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.4.
| Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften
bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten)
interpretieren und damit argumentieren
| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.5.
| Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren
| [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.6.
| ineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit
einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren
| [[Wachstumsfunktionen (3.6) | Theorie]]
| [[Wachstumsfunktionen (3.6)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.7.
| die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als
Lösung(en) einer Gleichung interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.8.
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz
bestimmen und diese im Kontext interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.9.
| anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen
(lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren
| [[Quadratische Funktionen | Theorie]]
| [[Theorie (3.9.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.10.
| Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und
die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und argumentieren
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<br>
== Analysis ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|4.1.
|Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen auf der Basis eines intuitiven Begriffsverständnisses
argumentieren
| [[Theorie Grenzwert| Theorie]]
| [[Theorie Grenzwert#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.2.
| Differenzen- und Differenzialquotient als Änderungsraten interpretieren, damit anwendungsbezogen modellieren, rechnen und damit argumentieren
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|4.3.
| die Ableitungsfunktionen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen und Funktionen,
die aus diesen zusammengesetzt sind, berechnen
| [[Ableitungsregeln | Theorie]]
| [[Ableitugnsregeln#Beispiele| Beispiele]]
|-
|4.4.
| Monotonieverhalten, Steigung der Tangente und Steigungswinkel, lokale Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte von Funktionen am Graphen ablesen, mithilfe der Ableitungen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Kurvendiskussionen | Theorie]]
| [[Kurvendiskussionen#Maturabeispiele | Beispiele]]
|-
|4.5.
|den Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitungsfunktion bzw. einer Stammfunktion beschreiben; in ihrer grafischen Darstellung interpretieren und argumentieren
| [[graphisches Differenzieren | Theorie]]
| [[graphisches Differenzieren#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.6.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integrationsregeln | Theorie]]
| [[Integrationsregeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.7.
| das bestimmte Integral auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes als Grenzwert
einer Summe von Produkten interpretieren und damit argumentieren
| [[Integrieren| Theorie]]
| [[Integrieren#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.8.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integrieren| Theorie]]
| [[Integrieren#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<br>
== Stochastik==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|5.1.
|Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten)
grafisch darstellen und interpretieren sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise
anwendungsbezogen argumentieren (reis-, Stab- und Balken-/Säulendiagramme,
Boxplot)
| [[statistische Diagramme| Theorie]]
| [[statistische Diagramme#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.2.
| Mittelwerte und Streuungsmaße von Häufigkeitsverteilungen berechnen, interpretieren und
argumentieren
| [[statistische Kennzahlen| Theorie]]
| [[statistische Kennzahlen#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.3.
| die Wahrscheinlichkeit als intuitiven Grenzwert relativer Häufigkeit interpretieren
| [[Wahrscheinlichkeit| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit#Beispiele| Beispiele]]
|-
|5.4.
| die Additionsregel auf einander ausschließende Ereignisse und die Multiplikationsregel auf
unabhängige Ereignisse anwenden; Zufallsexperimente als Baumdiagramm darstellen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Wahrscheinlichkeit#Baumdiagramme| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.5.
|mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten
berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren
| [[Binomialverteilung | Theorie]]
| [[Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.6.
|mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren, Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ interpretieren und Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsdichte argumentieren
| [[Normalverteilung| Theorie]]
| [[Normalverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

[[Kategorie: Angewandte Mathematik]]

Angewandte Mathematik

2014-07-15T06:39:04Z

178.190.141.168:

= Rechtliches =

Bei der Matura wirst du dir aussuchen können, ob du im Fach "Angewandte Mathematik" [https://www.bifie.at/node/81 schriftlich] oder [[mündlich]] antrittst.

= Was muss ich können? Kompetenzenlisten =

Die Kompetenzen sind in 2 Teile, Teil A und Teil B, aufgeteilt:
* [[Grundkompetenzen Teil A| Teil A]] ist für alle BHS-Schulen (HTL, HAK, HLW, Bakip,...) gleich.
* [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6 | Teil B]] ist Schulartenspezifisch. Jede Schule hat einen sogenannten Cluster. Für die HLW gilt der Cluster 6.

[[Kategorie:Angewandte Mathematik]]

Trigonometrie (2.12 und 3.10)

2014-07-15T05:32:03Z

178.190.141.168:

In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)

Die folgende Seite ist in 5 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
# [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck]]: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen.
# [[#Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis | Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis]]: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
# [[#Trigonometrische Funktionen | Trigonometrische Funktionen]]: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und Tangensfunktion kennen.
# [[#Das allgemeine Dreieck | Das allgemeine Dreieck]], indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, zu rechnen.
# [[#Vermessungsaufgaben | Vermessungsaufgaben]], in denen du das Gelernte in Anwendungsbeispielen verwenden kannst.

Die letzten beiden Kapitel bestehen aus einer [[#Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck | Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln]] und [[#Matura-Aufgaben | Matura-Aufgaben]]

== Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck ==

=== Begriffe ===
[[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|350px|rechtwinkliges Dreieck]]

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (= Dreieck mit einem 90°-Winkel).

* Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt '''Hypotenuse'''. Sie ist '''IMMER gegenüber vom dem rechten Winkel'''.
* Die beiden kürzere Seiten heißen '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
: * die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
: * die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
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=== Sinus, Cosinus und Tangens ===

{| border ="1"

| '''Definition'''

|<p style="background-color:#E0E0E0">

{|
|
* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
|$\ \ \ \mathbf{sin\ \alpha = \frac{GK}{H}}$
|-
|
* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
|$\ \ \ \mathbf{cos\ \alpha = \frac{AK}{H}}$
|-
|
* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK
|$\ \ \ \mathbf{tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}}$
|}
</p>
|}

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]
Das Besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
:[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].

{|
|-
| <span style="background-color:#00FFFF"> '''Wichtig:''' </span> Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
|}

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=== Steigung und Steigungswinkel ===
[[Datei:Steigung11.png|thumb|right|450px|Steigung und Steigungswinkel]]
Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
Somit erhalten wir die Formel:

{| style="color:red;" cellpadding="10" border="1" align="center"
| $$k=\tan \alpha$$
|}

Mit dieser Formel kann nun einfach zwischen der (prozentuellen) Steigung und dem Steigungswinkel gewechselt werden:
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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.

- Bestimmen Sie
* a) den Steigungswinkel
* b) die prozentuelle Steigung

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]

$\alpha = 8.05°$

b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
$$k=\ tan\ \alpha$$
$$k=\tan \ 8.05°$$
$$k=0.14=14 \ \%$$
A: Die Steigung beträgt 14 %.

</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Übungen im Rechtwinkligen Dreieck ===

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.mathe-online.at/tests/wfun/defWfun.html Online-Übung zur Überprüfung, ob die richtige Formel verwendet wurde]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html Weitere Übung zur Überprüfung der Formel]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html Und noch eine Übung dazu]

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/rechtw.htm Rechenbeispiele von Jutta Gut (mit Lösungen)]

* [http://matura.marienberg.at/images/0/04/Aufgaben_zu_den_Themen_rechtw_Dreieck_und_Einheitskreis.pdf Aufgabenblatt mit Textaufgaben samt Lösungen]

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== Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis ==
=== Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===

[[Datei:Winkel- und Bogenmaß1.png|thumb|right|500px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]

Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit Radius r=1. Sein Umfang beträgt
$$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$

Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:

'''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''

So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.

* Eine volle Umdrehung hat 360°
* Eine halbe Umdrehung hat 180°

'''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''

Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens r (siehe Skizze) bestimmt werden.

* Bei einer vollen Umdrehung hat r die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises, siehe oben). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
* Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Hier findest du ein
[http://www.geogebratube.org/student/m133394 Arbeitsblatt, das dir den Zusammenhang besser erklärt].

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
{|
| Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
|-
| $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.
|}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll

a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.

b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Grad- in Bogenmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$

A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$

b) Bogen- in Gradmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
$$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$

A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===

====Theorie====
Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:

[[Datei:Sinus und Kosinus und Tangens im Einheitskreis1.png|thumb|right|500px|Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis]]

* Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Tangens entspricht der Länge des [[Tangente | Tangentenabschnittes]] der Tangente durch den Punkt (1,0).

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Begründung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''für den Sinus:'''
Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die Länge der $\color{red}{\textrm{roten Strecke}}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete GK.

Zu zeigen ist nun:
$$\sin \ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

'''Beweis:'''
$$\sin\ \alpha=\frac{GK}{H}=\frac{\color{red}{\textrm{rote Strecke}}}{1}=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
Somit gilt:
$$\sin\ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Mit dem folgenden [http://www.geogebratube.org/student/m133494 Arbeitsblatt] kannst du dein Verständnis vertiefen.

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====Wichtige Werte====
Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das [http://www.geogebratube.org/student/m133494 obige Arbeitsblatt] sollte dir dabei helfen:

{| border="1" align="center"
|
| Sinus
| Cosinus
| Tangens
|-
| Gradmaß: 90°
Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad
| 1
| 0
| nicht definiert
|-
| 180°
$\pi$ rad
| 0
| -1
| 0
|-
| 270°
$\frac{3\pi}{2}$ rad
| -1
| 0
| nicht definiert
|-
| 0° und 360°
0 rad und $2\pi$ rad
| 0
| 1
| 0
|}

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== Trigonometrische Funktionen ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Öffne das folgende [http://www.geogebratube.org/student/m133564 Arbeitsblatt]. Hier findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die unten abgebildten Graphen der Sinus-, Cosius und Tangensfunktion kommt.

=== Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$ ===

Stellt man den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:

[[Datei:Sinusfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

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===Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$ ===
Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Cosfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

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===Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$ ===
Der Graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Tangensfkt1.png|thumb|center|700px|Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

# Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
# Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die [[Wertemenge]] $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Betrag]] verwendet.)
# Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
# Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Wichtige Werte | Tabelle zum Einheitskreis]] herausgelesen werden.
</div>

</div>
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== Das allgemeine Dreieck ==
[[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]

Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.

Ohne rechten Winkel können wir die [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens]] nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:

a) den Sinussatz

b) den Cosinussatz und

c) die allgemeinen Flächenformeln

Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechten Winkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).

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=== Sinussatz ===
{| align="right"
|{{#ev:youtube|Mvm69Wj8doo}}
|}
Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck

1. eine Seite '''und'''

2. der gegenüberliegende Winkel '''und'''

3. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.

{| style="color:red;" border="1" align="center"
| '''Formel für den Sinussatz'''
|-
| $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$
|}

Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes:

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=== Cosinussatz ===

{| style="color:red;" border="1" align="center"
!| Formeln für den Cosinussatz
|-
|
*$ a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\ \alpha$
* $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\ \beta$
* $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\ \gamma$
|}

Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:

: a) 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist '''oder'''

: b) alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will.

{| border="1" align="center"
!| Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.

:: <span style="color:red"> gegebene Größen </span>
:: <span style="color:blue"> berechenbare Größen </span>
|-
|
{| align="center"
| [[Datei:Cosinussatz2.png|thumb|300px|Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden]]
| [[Datei:Cosinussatz1.png|thumb|300px|Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden]]
|}
|}

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=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/dreiecke.htm Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut (samt Lösungen)]

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== Vermessungsaufgaben ==
=== Begriffe ===

[[Datei:Höhen- und Tiefenwinkel.gif|right]]

* '''Höhenwinkel'''
Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Höhe".

* '''Tiefenwinkel'''
Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Tiefe".

* '''Sehwinkel'''
Der Sehwinkel ist das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) "einfängt".

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=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/verm.htm Beispiele zu den Vermessungsaufgaben von Jutta Gut (samt Lösungen)]

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== Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ==
{| border="1" align="center"
|-
|
| rechtwinkliges Dreieck
| allgemeines Dreieck

|-
| Winkelsumme
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
|-
| Pythagoras
| $H^2=GK^2+AK^2$
| gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
|-
| Flächeninhalt
| $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
| $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
|
| $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
|
| $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
|}

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm.pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
: Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
: Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
: Siehe auch [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
: Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch
: * [[Beschreibende Statistik]]
: * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
: '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]