Kurvendiskussionen

2014-02-09T14:50:31Z

178.190.139.33: /* Beispiel für $f(x)=0$, aber kein Extremum: */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* Nullstellen
* Extremwerte
* Krümmungsverhalten und Wendepunkte
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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''Funktionswert''' an der Stelle x
| die '''Steigung''' von f an der Stelle x
| die '''Krümmung''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend. Die Entfernung nimmt ab.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| Nullstelle
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein Extremum.
| Möglicherweise befindet sich hier ein Wendepunkt.

|}
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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|350px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen $x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

Wie am Graphen in der rechten Abbildung gut erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''. Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...

[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|350px|right]]

=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
|
* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
|

|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

|
|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> === Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$=== </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum sind also wichtig!

</div>

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